“ 分类思想”视域下的计算教学
——“ 三位数乘以一位数”教学片段与思考
《标准（2011版）》在总目标中要求学生能够运用数学的思维方式进行思考，数学思考的部分特征就包括有顺序地、有层次地、全面地、有逻辑性地思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。
2021年4月，第13届上海悦远小学数学教学“创意课程与教学”研讨会，研师三人行团队的翟志宏老师，为我们带了了一节“分类思想”视域下的计算教学，《三位数乘以一位数》的展示课。关于章勤琼博士曾提出计算教学的五个层次（1）数的组成；（2）运算的意义要有一定的了解；（3）要有一种自己理解的算法；（4）跟其他的算法进行沟通比较和联系；(5)培养孩子在计算教学当中主动灵活的思维品质以及一定的创新意识。如何在计算的过程中，培养孩子的思维品质呢？“分类思想”为我们提供一个可以借鉴的切入点。本节课，还在通过探讨469×7这一算式的多样算法，经历剔除错误和相似的算法，两次分类整理，最终对算法进行提炼。
片段1：引入“踢十法”，激发兴趣
师：好，说一下我祖传的计算力方向。中间有0的单位数乘一位数，你要是任意考我的话，我能够马上把答案算出来，就想考虑一下我。469×7可以变成409×7+60×7。想用计算机来验证一下，不需要验证吗？
生：不需要，好，在那这样的话你们都会了，我出一点条件你们好不好？
师：从这个小活动当中可以看出来，大家已经睡醒了
【思考】道三位数乘一位数的连续进位，很难口算，而且列式笔算，程序复杂，容易出错。采用“踢十法”后，轻松化解了连续进位的问题，每一步都只需要口算就可完成，灵活简便，不易出错。在这节课中，通过引入踢十法，孩子们真实的感知到三位数乘以一位数没有那么困难，以此激活学生兴趣，并引出课题。
片段2：独立思考，轮流汇报
师：看到469×7，你马上想到什么方法？469×7能表示什么意义呢？
生1：一种是469个7
生2：7个469
师：意义还有舒适计算都难不到大家，我想问的是你能想出不同的算法吗？用横式表示。不同，好，对于这个要求谁感到有疑惑？有没有同学看不懂这个要求谁？看懂了怎么说？要求是什么？好，现在给我复述一下。什么意思？要求：小组汇总，最后要进行全班交流，我会从方法比较少的小组开始进行汇报。因此我们在汇总的时候要编好，序号，看看你们组一共想到了多少种方法。
生1：470×7=3290。
师：就这样子吗？好，没有关系，我们先把它记录下来。
生2：我用的方法是的是406×7=2842再加90×7=630等于3283
师：我想打断一下，我们刚才其实有要求是我们只需要不同的算法需要把答案算出来吗？答案？我一开始就知道了，对不对？好，你还要保留吗？还是我再修改一下？后面女生再来补充一下。
生3：我是这样算的，把7拆成5和2，算式是 469×5+469×2
师：好，掌声送给这个数加在一起等于3283，为什么要把掌声送给这个女生？因为她在汇报的时候是按照老师刚才提的要求，用横式表示出来去销售答案，不需要用答案近在眼前，对不对？好，小组另外一个成员再来补充。
生4：7+7+7+7+7+7加一直加469个7
生5：400×7+69×7
生6：469+（5+2）
生7：469×7+1×7=。
生8：469+1×7
生9：7×9+60×7+400×7
生10：409×7+60×7
生11：470×7-1×7
生12：469 ×（3+4）
生13：469×11-469×4
生14：450×7+19×7
生15：460×7+9×7
生16：469×10-469×3
师：好，要是我们继续往下学的时候，你发现有不同形式的，我们今天就先来研究这么多。但是这么多的方法，有哪些是你看不懂的，感觉到有疑惑的，先跟你同桌交流一分钟。开始。
【思考】在计算教学中往往孤立的去计算一道题，多元表征的外表下，其算法的本质往往单一，而这节课中，弱化竖式的书写，孩子们在交流讨论中写出横式，为学生思考算法的多样性提供可能。同时，在教学组织中还有一个亮点，学生汇报的时候从组内人数少的开始，这样避免了课堂仅仅面向优生的局面，更多的孩子有机会参与。
片段3：分类整理，提炼算法
师：你对哪个感觉到有不同的想法，或者认为他可能有点小问题，我想请这个女生对。
生1：第一个算式是错的。
生2：第6种方法把中间的加法改成乘法
师：这样对了吗？但是改成乘法之后，认为这种方法有没有必要留下来？
生3：没有，因为跟我们原来的算式是一样的，可以去掉。
师：好，我想请问女生，我还发现有两个算式有问题，469+1×7和469×7+1×7这个算式对吗？
生4：应该把改成乘法，表示改成乘法之后，还要加个括号，但是就和原来的一样了，可以去掉。
师：谢谢你的回答，在同级运算的时候我可以先算前面或者可以先算后面，写完这样之后跟原来又很像，我们可以把它去掉也是相同的方法。
师：你刚才说另外一个是不是就是说第4种了，第4种方法太费时间对不对？我们就让他跟他说再见好不好？
生5：好。
师：开剩下的算式可以按照什么标准分类？理由是什么？在分享的时候，可以说我先把哪一部分分为一类，把另外一部分分为一类，再说明分类的原因。要先说你的答案，再说原因，好，咱们讨论一下，
生6：算式2、3、5、9、10、11、12、13、14、15可以划分一类，它们都是拆469或者7。
生7：11和16可以分为一类，因为算式470×7-1×7当中的470是凑整出来的，算式469×10-469×3当中的10是凑出来的。
师：现在我们聚焦第一种分类的方法，还可以继续分类吗？
生8：按照有无进位，无进位有两种7×9+60×7+400×7和409×7＋60×7；其余都需要分类。
片段4：反思回顾，发展思维
师：为什么不同的人选择不同算法？
生1：计算的切入点不一样。
生2：根据算式的特征进行选择的。
师：好，希望大家经过这一个之后，能够做算式计算的时候，能够根据数字特征合理的选择方法，而不是一看到说是马上想到用数字解决，今天我们研究的是3位数乘一位数，要是今后遇到4位数乘一位数以及更多的方法，又会怎么算呢？好，可以回去思考一下，我们这节课就到这里，好，下课。
【思考】在分类整理算法的过程中，学生经历两次分类，第一次是拆和于凑十；第二次是进位与不进位。与此同时，学生在思辨的过程中，开始明白依据数字特征进行计算是一种明智的计算策略。在分类思想的思考方式下，学生学会对比、分析、以及创造性的使用不同的算法。
【几点思考】
（1）关于计算教学。除了明晰算理和算法之外，是否有培养学生更高思维的可能性？
（2）蕴含的数学思维包含哪些？
（3）教学的路径是什么？
（4）如何指向数学核心素养？