国标混凝土规范中收缩徐变预应力损失计算方法的来源

0. 背景

最近在整理混塔预应力损失计算方面的内容，想着对比一下国标和欧标的异同，无意间发现了国标计算第5项预应力损失的公式的来源。想着从自己学生时代第一次看见那个公式心中就充满了疑惑，今天终于拨云见日，心里还是比较开心的。鉴于此，就先占个坑位，有时间把这一段好好记录一下。

本文的主要内容依据贡金鑫老师的《中美欧混凝土结构设计》一书，在这里向贡老师致敬！他的那本可靠度原理的书被我从学生时代一直保留到今天还时常翻阅。

——————20230721

1. 收缩徐变预应力损失(${\sigma }_{l5}$)的来源

${\sigma }_{l5}$是由于混凝土的收缩和徐变引起的预应力损失。收缩与徐变均会引起预应力混凝土构件长度缩短，从而带来预应力损失。

2. 收缩徐变预应力损失(${\sigma }_{l5}$)的计算方法

设混凝土产生的徐变和收缩变形为${\epsilon }_c$，该应变引起的预应力筋应力损失为$\Delta {\sigma }_p$，混凝土的应力随之减少，减少值记为$\Delta {\sigma }_{pc}$。由静力平衡条件，得：
$$\Delta {\sigma }_{pc}=\frac{\Delta {\sigma }_p{A}_p}{A}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$${\epsilon }_c-\frac{\Delta {\sigma }_{pc}}{E_c^{{}^{\prime }}}=\frac{\Delta {\sigma }_p}{E_c}\text{\hspace{1em}(2)}$$

式中$E_c^{{}^{\prime }}$为混凝土的变形模量。

这里，混凝土的变形模量$E_c^{{}^{\prime }}$在王肇民先生的《高耸结构设计手册》中被称为“弹塑性模量”，指的是包含了弹性和塑性变形的模量。这个概念在高耸结构设计规范中计算大偏心受力下环形塔筒截面应力的公式中是有用到的。

由（1）（2）两式，有：
$${\sigma }_{l5}=\Delta {\sigma }_p=\frac{E_p{\epsilon }_c}{1+\frac{E_p{A}_p}{E_c^{{}^{\prime }}A}}=\frac{E_p{\epsilon }_c}{1+{\alpha }_{Ep}^{{}^{\prime }}\frac{A_p}{A}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中${\alpha }_{Ep}^{{}^{\prime }}=\frac{E_p}{E_c^{{}^{\prime }}}$。

当构件中存在非预应力筋时，（3）式可以写为：
$${\sigma }_{l5}=\Delta {\sigma }_p=\frac{E_p{\epsilon }_c}{1+{\alpha }_{Ep}^{{}^{\prime }}\frac{A_p}{A}+{\alpha }_{Es}^{{}^{\prime }}\frac{A_s}{A}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

从（4）式可以看出，${\sigma }_{l5}$与$E_p{\epsilon }_c$（混凝土徐变和收缩引起的（预应力）钢筋应力）有关，同时还与配筋率有关。
前者又分为收缩和徐变两部分。收缩对于先张法构件稍高，后张法构件稍低，因为后张法构件在张拉时已完成了一部分收缩。徐变的值与预加力所引起的混凝土压应力${\sigma }_{pc}$和施加预应力时混凝土的立方体抗压强度$f_{cu}^{{}^{\prime }}$之比成正比。现行混凝土规范（2010版）根据试验给出的结果是，对先张法构件为$60+340\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$，对后张法构件为$55+300\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$。

需要注意的是，2002版混凝土规范对于这两者给出的结果分别是$45+280\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$以及$35+280\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$。1989版混凝土规范的结果应该是（说应该是是因为我并没有89版规范原件，这里参考王肇民的《高耸结构设计手册》的结果，其中有提到其所依据的混凝土规范是1989版的）$45+220\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$以及$25+220\frac{{\sigma }_{pc}}{f_{cu}^{{}^{\prime }}}$。
可以发现，随着规范的更新，${\sigma }_{l5}$在设计中的取值变得越来越大（后面会发现，几版规范的分母是一直没有变化的）。

对于（4）式，取弹性模量比${\alpha }_{Ep}\approx {\alpha }_{Es}\approx 6$。取（预应力）钢筋弹性模量与混凝土变形模量比为${\alpha }_{Ep}^{{}^{\prime }}=2.5{\alpha }_{Ep}$，${\alpha }_{Es}^{{}^{\prime }}=2.5{\alpha }_{Es}$。于是：
$$1+{\alpha }_{Ep}^{{}^{\prime }}\frac{A_p}{A}+{\alpha }_{Es}^{{}^{\prime }}\frac{A_s}{A}=1+6\times 2.5\frac{A_p}{A}+6\times 2.5\frac{A_s}{A}=1+15(\frac{A_p+A_s}{A})=1+15\rho$$

这里又一次用到了变形模量（弹塑性模量）的概念，按照贡金鑫老师在书中提到的说法，钢筋弹性模量与混凝土变形模量比是由120d的徐变应变的试验数据得到的。注意到从1989版规范到2010版规范，这一结论（分母$(1+15\rho )$）均没有变化。也就是说，120d徐变应变的试验数据应该是比较稳定可靠的。相比之下，分子上的收缩徐变引起的预应力筋材的应力变化就比较大了。

4. 后记

搞清楚一个问题的感觉还是很不错的。开心。