计算机组成原理 - 浮点数

1 浮点数

1.1 一般格式

浮点数表示为： N = (-1)^S × M × R^E

参数	全称	解释
S	Sign：标志、符号	决定浮点数的符号，取值 0（正） 或 1（负）
M	Mantissa：尾数	反映浮点数的精度
R	Radix：基数	隐含，通常为 2、10 等
E	Exponent：指数、阶码	反映浮点数的范围及小数点的实际位置

• 若 R = 10 时，$12345=(-1{)}^0\times 1.2345\times 10^4$
• 若 R = 2 时，$-101=(-1{)}^1\times 1.01\times 2^{10}$ ，（2D = 10B）

1.2 规格化

规格化 : 规定 尾数 的 最高数值位 必须是一个 有效位（非 0），可通过以下两种方式实现

规格化	规则	举例
左规	尾数算数 左移 1 位，阶码减 1	0.01001 × 21 = 0.10010 × 20
右规	尾数算数 右移 1 位，阶码加 1	01.0100 × 22 = 00.1010 × 23

可用原码、补码对尾数进行规格化，表示形式如下

	正数				负数
	表示形式	最小值	最大值	表示范围	表示形式	最小值	最大值	表示范围
原码	0.1XX...X	0.10...0	0.11...1	[2-1，1-2-n]	1.1XX...X	1.11...1	1.10...0	[-(1-2-n)，-2-1]
补码					1.0XX...X	1.00...0	1.01...1	[-1，-(2-1 + 2-n)]

说明：
① 0.11…1 末尾加 0.00…1 等于 1，即：$\mathrm{0.11...1}+2^{-n}=1$，推出 $\mathrm{0.11...1}=1-2^{-n}$
② 补码负数规定的表现形式为：“1.0XX…X”，方便硬件识别
③ 左规：使 非规格浮点数 转成 规格化浮点数
④ 右规：使 结果溢出的浮点数 转成 规格化浮点数，一般使用两个符号位（第一个符号位是正确的，第二个符号位为溢出的）

1.3 表示范围

1.4 原码、反码、补码、移码 取值范围

编码	定点整数			定点小数
	最小值	最大值	数值个数	最小值	最大值	数值个数
原码	-(2n-1 - 1)	2n-1 - 1	2n-1	-(1 - 2-(n-1))	1 - 2-(n-1)	2n-1
反码
补码	-2n-1		2n	-1		2n
移码				-	-	-

说明：
① 原码 和 反码 一样，存在 $\pm 0$ 的情况 +0=0000 0000，-0=1000 0000
② 补码 和 移码 一样，+0=0000 0000，-128=1000 0000=$-2^7$（特殊规定，记住）
③ 补码 可表示的数值位数 比 原码、反码 多 1，就在于 $\pm 0$ 上
④ 上述 n 表示机器字长
⑤ 移码 只能用于表示定点整数
扩展：详解 CSDN 博客：https://blog.csdn.net/qq_34745941/article/details/127574811

2 IEEE 754 标准

类型	符号位 S	阶码 E	尾数 M	总位数	偏置值
					十六进制	十进制
短浮点数 float	1	8	23	32	7FH	127
长浮点数 double	1	11	52	64	3FFH	1023
临时浮点数 long double	1	15	64	80	3FFFH	16383

2.1 阶码

• 在 IEEE 754 浮点数标准中，阶码 是用 移码 表示的，移码的 偏置值 是：$2^{n-1}-1$，（n：机器字长）
• 移码的定义：移码 = 阶码真值(E) + 偏置值
• 规格化的 浮点数 真值 = (-1)^S × 1.M × 2^E+127
• 规格化的 长浮点数 真值 = (-1)^S × 1.M × 2^E+1023

【例题1】将十进制数 -0.75 转换为 IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

$(-0.75{)}_{10}=(-0.11{)}_2=(-1.1{)}_2\times 2^{-1}$
数符 = 1（1 位）
尾数部分 = .1000…（隐含最高位 1，共 23 位）
阶码真值 = -1
单精度浮点数偏置值 = 127D
移码 = 阶码真值 + 偏置值 = -1 + 111 1111 = 0111 1110（凑足 8 位）
最终：IEEE 754 单精度浮点数格式：1 0111 1110 1000…

【例题2】IEEE 754 的单精度浮点数 C0 A0 00 00 H 的值是多少？

C0 A0 00 00 H -> 1 1000 0001 .0100…
数符 = 1 -> 负数
尾数部分 = .0100…（隐含最高位 1） -> 尾数真值 = $(1.01{)}_2$
移码 = 1000 0001，若看作无符号数 = 129D
单精度浮点数偏移量 = 127D = 0111 1111
阶码真值 = 移码 - 偏移量 = 1000 0001 - 0111 1111 = (0000 0010)_2 = $2_{10}$
最终：浮点数真值 = $(-1.01{)}_2\times 2^2=-1.25\times 2^2=-5.0$

2.2 加减运算

步骤	描述	举例（0.12 × 1012 + 3.45 × 1010）
① 对阶	将小阶向大阶对齐，同时将尾数右移 n 位	0.23 × 1012 + 0.0345 × 1012
② 尾数加减	尾数部分相加减	(0.23 + 0.0345) × 1012 = 0.2645 × 1012
③ 规格化	根据尾数加减的结果，判断是否需要规格化（左规、右规）	2.645 × 1013
④ 舍入	根据机器字长的位数限制进行舍入（规则很多，如：四舍五入）	2.65 × 1013
⑤ 判断溢出	判断阶码的范围是否超出规定

判断溢出：若规定阶码不能超过 2 位，那么运算后阶码超出范围，则表示溢出
如：$5\times 10^{99}+5\times 10^{99}=10\times 10^{99}=1\times 10^{100}$ （规格化后）
运算后的阶码为 100（ 3 位） 超过了规定的 2 位，发生溢出

3 扩展

3.1 网工软考真题

【例题1】浮点数的表示分为阶和尾数两部分。两个浮点数相加时，需要先对阶，即（）（n 为阶差的绝对值）
A.将大阶向小阶对齐，同时将尾数左移 n 位
B.将大阶向小阶对齐，同时将尾数右移 n 位
C.将小阶向大阶对齐，同时将尾数左移 n 位
D.将小阶向大阶对齐，同时将尾数右移 n 位

参考答案：D

【例题2】若计算机存储数据采用的是双符号位（00 表示正号、11 表示负号），两个符号相同的数相加时，如果运算结果的两个符号位经（）运算得 1，则可判断这两个数相加的结果产生了溢出。
A.逻辑与
B.逻辑或
C.逻辑同或
D.逻辑异或

参考答案：D
00：正号
01：上溢
10：下溢
11：负号
逻辑异或：不同为 1，相同为 0

【例题3】设 16 位浮点数，其中阶符 1 位、阶码值 6 位、数符 1 位、尾数 8 位。若阶码用移码表示，尾数用补码表示，则该浮点数所能表示的数值范围是（）
A.$-2^{64}$ ~ $(1-2^{-8})\ast 2^{64}$
B.$-2^{63}$ ~ $(1-2^{-8})\ast 2^{63}$
C.$-(1-2^{-8})\ast 2^{64}$ ~ $(1-2^{-8})\ast 2^{64}$
D.$-(1-2^{-8})\ast 2^{63}$ ~ $(1-2^{-8})\ast 2^{63}$

参考答案：B
浮点数格式 = $2^{阶码}\times 尾数$
阶码用移码表示，阶码值为 6 位，则说明 最小值为：$-2^6=-64$，最大值为：$2^6-1=63$
尾数用补码表示，尾数为 8 位，则说明 最小值为：-1，最大值为：$1-2^{-8}$