高中奥数 2021-12-05

2021-12-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P038 习题1）

空间四点,,,满足,,,,则的取值().

(A)只有一个

(B)有两个

(C)有四个

(D)有无穷多个

分析与解

因为

,两边平方得,故,于是

$\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {BD}&=\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow {CD}\right)\\ &=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}\right)\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}\\ &=\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}\\ &=0. \end{aligned}$

只有一个值0.

故选A.

2021-12-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P038 习题2）

,,, ().

分析与解

-1.

所以.

2021-12-04-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P038 习题3）

已知向量,向量与垂直,且,点坐标为,求位置向量的坐标.

分析与解

设,.

因为与垂直,,所以

得或

所以的坐标为或.

2021-12-04-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇向量的内积 P038 习题4）

如图,空间四边形中,、分别是对角线、的中点.求证:

图1

(1)若,,则,;

(2)若,,则,.

证明

(1) $\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {AQ}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\right)$ ,

即,

所以

$\begin{aligned} \overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow {AC}&=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\right)\cdot \overrightarrow {AC}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AC}^{2}\right)\\ &=0\\ &\Rightarrow\overrightarrow {PQ}\bot \overrightarrow {AC}, \end{aligned}$

同理可证,证毕.

(2)
$\begin{aligned} PQ\bot AC&\Rightarrow\overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow {AC}=0\\ &\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\right)\cdot \overrightarrow {AC}=0\\ &\Rightarrow\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AC}^{2}, \end{aligned}$

$\begin{aligned} PQ\bot BD&\Rightarrow\overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow {BD}=0\\ &\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AB}\right)=0\\ &\Rightarrow \overrightarrow {AD}^{2}=\overrightarrow {AB}^2+\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AB}, \end{aligned}$

$\begin{aligned} \overrightarrow {CD}^{2}&=\left(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\right)^{2}\\ &=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AD}^{2}-2\overrightarrow {AD}\cdot\overrightarrow {AC}\\ &=\left(\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\cdot\overrightarrow {AC}\right)+\left(\overrightarrow {AB}^2+\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AB}\right)-2\overrightarrow {AD}\cdot\overrightarrow {AC}\\ &=\overrightarrow {AB}^{2}, \end{aligned}$

所以.

同理可证,证毕.

高中奥数 2021-12-05

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