7-6 小波分析之小波变换
7-6 小波分析之小波变换
文章目录
- 7-6 小波分析之小波变换
-
- 1.小波变换
-
- 1.小波变换
- 2.信号重构
- 3.解析小波
- 2.小波基
1.小波变换
1.小波变换
\qquad 小波变换是在伸缩和平移后的小波上分解信号。小波 ψ \psi ψ是一个均值为零 L 2 ( R ) L^2(R) L2(R)的函数 ∫ − ∞ + ∞ ψ ( x ) d x = 0 \int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)dx=0 ∫−∞+∞ψ(x)dx=0它有规范化的范数 ∥ ψ ∥ = 1 \Vert\psi\Vert=1 ∥ψ∥=1，且能量集中在 t = 0 t=0 t=0的邻域内。对 ψ \psi ψ伸缩 s s s倍尺度，平移 u u u个单位就得到一个时-频原子字典 D = { ψ u , s = 1 s ψ ( t − u s ) } u ∈ R , s ∈ R + \mathcal D=\{\psi_{u,s}=\frac{1}{\sqrt s}\psi(\frac{t-u}{s})\}_{u\in\mathbb R,s\in\mathbb R^+} D={ψu,s=s1ψ(st−u)}u∈R,s∈R+这些原子仍然有规范化的范数 ∥ ψ u , s ∥ = 1 \Vert\psi_{u,s}\Vert=1 ∥ψu,s∥=1. f ∈ L 2 ( R ) f\in L^2(R) f∈L2(R)在时间 u u u和尺度 s s s处的小波变换为 W f ( u , s ) = < f , ψ u , s > = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) 1 s ψ ∗ ( t − u s ) d t Wf(u,s)=
2.信号重构
信号重构： 设 ψ ∈ L 2 ( R ) \psi\in L^2(R) ψ∈L2(R),是实函数且满足 C ψ = ∫ 0 + ∞ ψ ^ ∣ ( ω ) ∣ 2 ω d ω < + ∞ \mathcal C_\psi=\int_0^{+\infty}\frac{\hat\psi|(\omega)|^2}{\omega}d\omega<+\infty Cψ=∫0+∞ωψ^∣(ω)∣2dω<+∞则对任意的 f ∈ L 2 ( R ) f\in L^2(R) f∈L2(R)有 f ( t ) = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ + ∞ W f ( u , s ) 1 s ψ ( t − u s ) d u d s s 2 f(t)=\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}Wf(u,s)\frac{1}{\sqrt s}\psi(\frac{t-u}{s})du\frac{ds}{s^2} f(t)=Cψ1∫0+∞∫−∞+∞Wf(u,s)s1ψ(st−u)dus2ds及 ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∣ W f ( u , s ) ∣ 2 d u d s s 2 \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt=\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{|Wf(u,s)|^2}du\frac{ds}{s^2} ∫−∞+∞∣f(t)∣2dt=Cψ1∫0+∞∫−∞+∞∣Wf(u,s)∣2dus2ds.
证明：记 ψ s ( t ) = s − 1 / 2 ψ ( t / s ) \psi_s(t)=s^{-1/2}\psi(t/s) ψs(t)=s−1/2ψ(t/s),带入 W f ( u , s ) Wf(u,s) Wf(u,s)得 W f ( u , s ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) 1 s ψ ∗ ( t − u s ) d t = f ∗ ψ ‾ s ( u ) Wf(u,s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\frac{1}{\sqrt s}\psi^*(\frac{t-u}{s})dt=f*\overline\psi_s(u) Wf(u,s)=∫−∞+∞f(t)s1ψ∗(st−u)dt=f∗ψs(u)其中， ψ ‾ s ( t ) = s − 1 / 2 ψ ( − t / s ) \overline\psi_s(t)=s^{-1/2}\psi(-t/s) ψs(t)=s−1/2ψ(−t/s),令 b ( t ) = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ + ∞ W f ( u , s ) 1 s ψ ( t − u s ) d u d s s 2 b(t)=\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}Wf(u,s)\frac{1}{\sqrt s}\psi(\frac{t-u}{s})du\frac{ds}{s^2} b(t)=Cψ1∫0+∞∫−∞+∞Wf(u,s)s1ψ(st−u)dus2ds = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ W f ( ⋅ , t ) ∗ ψ s ( t ) d s s 2 =\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}Wf(\cdot,t)*\psi_s(t)\frac{ds}{s^2} =Cψ1∫0+∞Wf(⋅,t)∗ψs(t)s2ds = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ f ∗ ψ ‾ s ∗ ψ s ( t ) d s s 2 =\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}f*\overline\psi_s*\psi_s(t)\frac{ds}{s^2} =Cψ1∫0+∞f∗ψs∗ψs(t)s2ds对 b ( t ) b(t) b(t)做傅里叶变换得 b ^ ( ω ) = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ f ^ s ψ ^ ( s ω ) ∗ s ψ ^ ( s ω ) d s s 2 = f ^ ( ω ) C ψ ∫ 0 + ∞ ∣ ψ ^ ( s ω ) ∣ 2 d s s \hat b(\omega)=\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\hat f\sqrt s\hat\psi(s\omega)^*\sqrt s\hat\psi(s\omega)\frac{ds}{s^2}=\frac{\hat f(\omega)}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}|\hat\psi(s\omega)|^2\frac{ds}{s} b^(ω)=Cψ1∫0+∞f^sψ^(sω)∗sψ^(sω)s2ds=Cψf^(ω)∫0+∞∣ψ^(sω)∣2sds,由于 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)是实函数，由7-1节性质可知 ∣ ψ ^ ( − s ) ∣ 2 = ∣ ψ ^ ( s ) ∣ |\hat\psi(-s)|^2=|\hat\psi(s)| ∣ψ^(−s)∣2=∣ψ^(s)∣.做变量替换 ξ = s ω \xi=s\omega ξ=sω可得 b ^ ( ω ) = f ^ ( ω ) C ψ ∫ 0 + ∞ ψ ^ ∣ ( ξ ) ∣ 2 ξ d ξ \hat b(\omega)=\frac{\hat f(\omega)}{\mathcal C_\psi}\int_0^{+\infty}\frac{\hat\psi|(\xi)|^2}{\xi}d\xi b^(ω)=Cψf^(ω)∫0+∞ξψ^∣(ξ)∣2dξ,又因为 C ψ = ∫ 0 + ∞ ψ ^ ∣ ( ω ) ∣ 2 ω d ω < + ∞ \mathcal C_\psi=\int_0^{+\infty}\frac{\hat\psi|(\omega)|^2}{\omega}d\omega<+\infty Cψ=∫0+∞ωψ^∣(ω)∣2dω<+∞,所以 b ^ = f ^ \hat b=\hat f b^=f^,于是有 b ( t ) = f ( t ) b(t)=f(t) b(t)=f(t)得证。
下证第二个式子：由 W f ( u , s ) = f ∗ ψ ‾ s ( u ) Wf(u,s)=f*\overline \psi_s(u) Wf(u,s)=f∗ψs(u)可得 W f ( u , s ) ^ = f ^ s ψ ^ ( s ω ) \hat{Wf(u,s)}=\hat f\sqrt s\hat\psi(s\omega) Wf(u,s)^=f^sψ^(sω)于是由Plancherel公式有 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∣ W f ( u , s ) ∣ 2 d u d s s 2 = 1 C ψ ∫ 0 + ∞ 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ^ ( ω ) ∣ 2 ∣ s ψ ^ ( s ω ) ∣ 2 d u d s s 2 \frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{|Wf(u,s)|^2}du\frac{ds}{s^2}=\frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat f(\omega)|^2|\sqrt s\hat\psi (s\omega)|^2du\frac{ds}{s^2} Cψ1∫0+∞∫−∞+∞∣Wf(u,s)∣2dus2ds=Cψ1∫0+∞2π1∫−∞+∞∣f^(ω)∣2∣sψ^(sω)∣2dus2ds由Fubini定理可得 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∣ W f ( u , s ) ∣ 2 d u d s s 2 = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ^ ( ω ) ∣ 2 ( 1 C ψ ∫ 0 + ∞ ∣ s ψ ^ ( s ω ) ∣ 2 d s s 2 ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{|Wf(u,s)|^2}du\frac{ds}{s^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat f(\omega)|^2( \frac{1}{\mathcal C_\psi}\int_{0}^{+\infty}|\sqrt s\hat\psi (s\omega)|^2\frac{ds}{s^2})d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt Cψ1∫0+∞∫−∞+∞∣Wf(u,s)∣2dus2ds=2π1∫−∞+∞∣f^(ω)∣2(Cψ1∫0+∞∣sψ^(sω)∣2s2ds)dω=2π1∫−∞+∞∣f(t)∣2dt得证。
3.解析小波
解析小波： 如果一个函数 f a ∈ L 2 ( R ) f_a\in L^2(R) fa∈L2(R)的傅里叶变换在负频率处的值为0，则称这个函数是解析的，即 f ^ ( ω ) = 0 , ω < 0. \hat f(\omega)=0,\omega<0. f^(ω)=0,ω<0.,解析函数必是复的，但完全由其实部刻画。事实上，它实部的傅里叶变换为 f ^ ( ω ) = f ^ a ( ω ) + f ^ a ∗ ( − ω ) 2 \hat f(\omega)=\frac{\hat f_a(\omega)+\hat f_a^*(-\omega)}{2} f^(ω)=2f^a(ω)+f^a∗(−ω),这个关系可被转换为 f ^ ( ω ) = { 2 f ^ ( ω ) 若 ω ≥ 0 0 若 ω < 0 \hat f(\omega)=\begin{cases} 2\hat f(\omega) & \text{若}\omega\geq0\\ 0& \text{若}\omega<0 \end{cases} f^(ω)={2f^(ω)0若ω≥0若ω<0.
2.小波基
\qquad 我们可以构造小波 ψ \psi ψ,使得伸缩平移函数族 { ψ j , n ( t ) = 1 2 j ψ ( t − 2 j n 2 j ) } ( j , n ) ∈ Z 2 \{\psi_{j,n}(t)=\frac{1}{\sqrt {2^j}}\psi(\frac{t-2^jn}{2^j})\}_{(j,n)\in Z^2} {ψj,n(t)=2j1ψ(2jt−2jn)}(j,n)∈Z2是 L 2 ( R ) L^2(R) L2(R)的一组标准正交基。