集异壁第十四章——系统扩充

本章涉及的内容为哥德尔第二定理，以及对此定理的思考。

哥德尔那片旷世名作，主要涉及两个思想：1.系统内的符号串可以解释成另一些符号串，即系统的自省。2.以上性质可以全部集中于一个单个的符号串。

证明对（第一个思想）

在我们谈论某一符号串是否为某个系统的定理是，根据哥德尔配数方式得到m。可以将此符号串哥德尔化然后检查该推导的最后一行（n）是否和其匹配即可。比如我们要证明wu是wju系统的定理，证明有一个推导过程（遵循wju公理的情况下）的结尾等30（wu的哥德尔数）即可。此例子的更直观的解释就是存在某数a可以和30行程证明对。

证明对是一种系统的自我反省。

第二个思想是带入

该思想的主题是将变量全部用具体数字代替，主要分三步：

1、原公式的哥德尔数

2、将具体数字带入公式

3、结果哥德尔数

哥德尔定理运用到了这个思想的一个变种，将自己带入自己。这种方式虽然怪异但是符合逻辑，我们称这一变种为n是m的HUIEN化

证明

将两种思想结合（就是取交集）我们将这个结合体成为G，G的哥德尔数是u。G是否是系统中的定理，我们只需找出是否存在m和n证明对，并且n是否是u的HUIEN化。将一个数HUIEN化很简单，所以关键问题是m，m能否与u的HUIEN化成证明对，就成了Ｇ是不是某系统的定理的关键。Ｇ是否是一个定理？如果是，那么我们可以让Ｇ的前半部分推导是一个证明自己不是系统的定理，矛盾出现了！如果Ｇ不是定理，那么Ｇ是真理，一个符号串是真理而不是定理，那么我们就拥有了一个不在系统中的真理。哥德尔不完备证毕！

解决方案

有两个办法可以解决这个矛盾，将Ｇ加入系统，或者将～Ｇ键入系统，这都扩充了系统加入了一些让熟悉了旧系统的人难以理解的事情，就像非欧几何和欧式几何，以及自然数，有理数，实数一样。这些扩张对普通人来说意义很小，对数学家却至关重要。