泊松分布与伽马分布

泊松（Poisson）分布是二项分布的逼近，当二项分布（$X\sim b(n,p)$）的n值越大越接近，极限就是泊松分布（$X\sim \pi (\lambda )$）。也就是：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}=P(X=k),n{p}_n=\lambda$$
伽玛（gamma）分布是泊松分布在实数上的扩展。公式如下：
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{\alpha -1}{e}^{-x}dx}{\Gamma (\alpha )}=1=>Gamma(t|\alpha )=\frac{t^{\alpha -1}{e}^{-t}}{\Gamma (\alpha )}$$
其中，伽玛（Gamma）如下：
$$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt=>\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$$
该函数在整数上正好是阶乘函数，伽玛函数在复数也适用。