泊松分布与伽马分布

泊松(Poisson)分布是二项分布的逼近,当二项分布( X ∼ b ( n , p ) X\sim b(n,p) Xb(n,p))的n值越大越接近,极限就是泊松分布( X ∼ π ( λ ) X\sim\pi(\lambda) Xπ(λ))。也就是:
lim ⁡ n → ∞ ( n k ) p n k ( 1 − p n ) n − k = λ k e − λ k ! = P ( X = k ) ,   n p n = λ \large{\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=P(X=k),\ np_n=\lambda} nlim(kn)pnk(1pn)nk=k!λkeλ=P(X=k), npn=λ
伽玛(gamma)分布是泊松分布在实数上的扩展。公式如下:
∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x Γ ( α ) = 1   = >   G a m m a ( t ∣ α ) = t α − 1 e − t Γ ( α ) \large{\int_0^\infty{\frac{x^{\alpha-1}e^{-x}dx}{\Gamma(\alpha)}=1\ =>\ } Gamma(t|\alpha)=\frac{t^{\alpha-1}e^{-t}}{\Gamma(\alpha)}} 0Γ(α)xα1exdx=1 => Gamma(tα)=Γ(α)tα1et
其中,伽玛(Gamma)如下:
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t   = >   Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \large{\Gamma(x)=\int_0^\infty{t^{x-1}e^{-t}dt}\ =>\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)} Γ(x)=0tx1etdt => Γ(x+1)=xΓ(x)
该函数在整数上正好是阶乘函数,伽玛函数在复数也适用。

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