力扣 416. 分割等和子集

题目来源：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/description/

C++题解（思路来源代码随想录） ：

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，本题中是01背包。

把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

1. 确定dp数组以及下标的含义。二维数组: dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2. 确定递推公式。两种情况：不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)；放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])。
3. dp数组初始化。一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。状态转移方程可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化，即i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0；当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]。
4. 确定遍历顺序。有两个遍历的维度：物品与背包重量。都可以！ 但是先遍历物品更好理解。
5. 举例推导dp数组。

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
        int len = nums.size();
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if(sum % 2 == 1) return false;
        vector> dp(len, vector(sum/2+1, 0));
        for(int ii = nums[0]; ii <= sum/2; ii++) {
            dp[0][ii] = nums[0];
        }
        // 相当于包容量为sum/2，在len个物品中挑选，能装满则返回true。
        // 表示从0-j的元素中，取出和小于k的最大值。
        for(int j = 1; j < len; j++) {
            for(int k = 0; k <= sum/2; k++) {
                if(k < nums[j]) dp[j][k] = dp[j-1][k];
                else dp[j][k] = max(dp[j-1][k], dp[j-1][k-nums[j]]+nums[j]);
            }
        }
        if(dp[len-1][sum/2] == sum/2) return true;
        else return false;
    }
};

# 使用一维dp数组（滚动数组）

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

注意：遍历顺序必须先遍历物品再遍历包容量，且更新内层for循环需要递减（从后往前），因为滚动数组的更新需要用到未更新的前面元素，如果是递增（从前往后），前面更新的元素会影响后面的元素。

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};