“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营6-C Forest
"蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营6-C Forest
原题题面：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33191/C
文章目录
- "蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营6-C Forest
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- 题目大意
- 解题思路
- 代码实现
题目大意
给定 n ( 1 ≤ n ≤ 16 ) n(1\le n\le 16) n(1≤n≤16)个点 m ( 1 ≤ m ≤ 100 ) m(1\le m\le 100) m(1≤m≤100)条正边权的无向简单图，求每个生成子图的最小生成森林的权值和，答案对 998244353 998244353 998244353取模。
定义点集 V V V，边集 E E E，的图 G G G的最小生成森林为：
- 最小生成森林的边集 S ⊆ E S\subseteq E S⊆E。
- 任意两个节点的连通性不变。
- S S S为满足以上条件的最小权值。
图 G G G的生成子图为具有点集 V V V和边集为 E E E的子集所构成的图。
解题思路
看到范围，枚举显然不行。不妨将问题转换为求每条边对于总权值的贡献之和。
枚举边 e i = { u i , v i , w i } e_i=\{u_i,v_i,w_i\} ei={ui,vi,wi}，分别求每条边的贡献，什么时候会将 e i e_i ei放入最小生成森林？先将边按权值从大到小排序，若边编号在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1]的边无法使 u i , v i u_i,v_i ui,vi连通，则会加边 e i e_i ei，而边编号在 [ i + 1 , m ] [i+1,m] [i+1,m]的边的影响显然为 2 m − i 2^{m-i} 2m−i。
对于边编号在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1]的无法使 u i , v i u_i,v_i ui,vi连通的边的影响，不太好求，不妨考虑使总方案数 − [ 1 , i − 1 ] -[1,i-1] −[1,i−1]之间的边使 u i u_i ui与 v i v_i vi连通的方案数。
不妨设点的全集为 V V V，边编号在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1]之间的若干边构成使 u i u_i ui与 v i v_i vi连通的连通块点集为 S S S，方案数为 f i − 1 ( S ) f_{i-1}(S) fi−1(S)，端点均在点集 A A A中且边编号在 [ 1 , i − 1 ] [1,i-1] [1,i−1]内的边数量为 c n t i − 1 cnt_{i-1} cnti−1。
可得转移式：
c n t i ( A ) = c n t i − 1 ( A ) + [ u i ∈ A & v i ∈ A ] cnt_i(A)=cnt_{i-1}(A)+[u_i\in A\&v_i\in A] cnti(A)=cnti−1(A)+[ui∈A&vi∈A]
每条边分为三种情况：
- 端点都不在点集 S S S中，对答案的贡献显然为 2 c n t i − 1 ( V − S ) 2^{cnt_{i-1}(V-S)} 2cnti−1(V−S)。
- 有且只有一个端点在 S S S中，不可选，没有贡献。
- 端点都在点集 S S S中。
对于新加入的边 e i = { u i , v i , w i } e_i=\{u_i,v_i,w_i\} ei={ui,vi,wi}有两种情况：
- u i ∈ S , v i ∈ S u_i\in S,v_i\in S ui∈S,vi∈S
- The others
对于第二种情况，该边对 f i ( S ) f_i(S) fi(S)没有贡献；
对于第一种情况，对 f i ( S ) f_i(S) fi(S)的贡献为 ∗ 2 *2 ∗2，若 u i , v i u_i,v_i ui,vi不在同一个连通快中，还要加上连接两部分的贡献。
则：
f i ( S ) = { 2 f i − 1 ( S ) + ∑ T ∈ S , u i ∈ T , v i ∉ T f i − 1 ( T ) f i − 1 ( S − T ) u i ∈ S , v i ∈ S f i − 1 ( S ) o t h e r s f_i(S)= \begin{cases} 2f_{i-1}(S)+\sum_{T\in S,u_i\in T,v_i\notin T}f_{i-1}(T)f_{i-1}(S-T)&u_i\in S,v_i\in S\\ f_{i-1}(S)&others \end{cases} fi(S)={2fi−1(S)+∑T∈S,ui∈T,vi∈/Tfi−1(T)fi−1(S−T)fi−1(S)ui∈S,vi∈Sothers
边 e i e_i ei对于结果的贡献为：
A n s i = w i × 2 m − i ( 2 i − 1 − ∑ S ⊂ V , u i ∈ S , v i ∈ S f i − 1 ( S ) 2 c n t i − 1 ( V − S ) ) Ans_i=w_i\times 2^{m-i}(2^{i-1}-\sum_{S\subset V,u_i\in S,v_i\in S}f_{i-1}(S)2^{cnt_{i-1}(V-S)}) Ansi=wi×2m−i(2i−1−S⊂V,ui∈S,vi∈S∑fi−1(S)2cnti−1(V−S))
代码实现
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