PTA python实现 7-37 整数分解为若干项之和 (20 分)

7-37 整数分解为若干项之和 (20 分)

将一个正整数N分解成几个正整数相加，可以有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。

输入格式：

每个输入包含一个测试用例，即正整数N (0

输出格式：

按递增顺序输出N的所有整数分解式子。
递增顺序是指：对于两个分解序列 N₁ = {n₁,n₂,⋯} 和 N₂ = {m₁,m₂,⋯}
若存在 i 使得 n₁ = m₁ , ⋯ , n_i = m_i，但是 n_i+1 < m_i+1 ,则 N₁ 序列必定在 N₂ 序列之前输出。
每个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出4个式子后换行。

输入样例：

7

输出样例：

7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2
7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3
7=2+5;7=3+4;7=7

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解题思路

这个题目很显然应该用递归的想法去做，但是退出条件和递归式子还需要仔细琢磨。
先做例子分析F(5)的结构

image.png

可以看到，数字始终是呈现递增的形式，无论是上下还是左右，都是后面的数字比前面的数字更大。
而且 第1位 数除了其本身，都不会超过 F(n) 中的 n/2 ，然后就是一种n的本身的特殊情况。
如果我们把第一位数设为 i ，将从 i 开始的 F(n)，记为 F(n , i )
那么 F(5) 就可以拆分成 F(5,1) , F(5,2) ，F(5,5)三种情况。

F(5) 全分解

F(5,1) 又可以看成是 1 + F(4) , F(4) 则可以看成 F(4,1) , F(4,2) , F(4,4) ...
又或者可以看成是 2 + F(3,2) , F(3,2) 可以拆分为 F(3,3) 因为 F(3,2) 的从 2 开始，而 2 > 2/3，所以舍去了，...

F(5) 拆分

F(4) 拆分

F(3,2) 拆分

根据以上观察可以发现，只有在 F(n,n)的时候，条件才会结束，并且最后的那一位数字就是 n ,而前面的那一串加法数与上一级相同。
所以我们可以把上一级的前面那一串加法数，传到本级，然后决定在末尾加上 a+ 以后传递到下级，或者是直接输出。
于是式子被改造成F(n , i , str) , n 就是需要求式子的和数，i 就是本级运算需要放在式子第一位的最小数字，str就是上一级传下来的需要被输出的字符串，即图中 1+1+F(2,2) 中的 '1+1+' ，2+F(3,2) 的 该式子写法就是 F(3,2, '2+')。

我这么写可能理解起来有些困难，我还是直接放代码吧，配合代码理解起来应该会更容易。
代码不多，主要算法代码只有十几行。

最终答案

def main():
    # 输入，起始条件
    n = int(input())
    f(n,1,str(n)+'=')

#计数换行，全局变量
count = 0

def f(n, startnum,out=''):
    global count
    # 递归，从 startnum ,到 n/2 取整 ，range()特性 +1
    # 用 out字符串 来存储前面的数字，outmp是当前式子用的，输出即弃用
    for i in range(startnum,n//2 + 1):
        outmp = out
        outmp += str(i) + '+'
        f(n-i,i,outmp)
    
    # 退出条件就是 startnum == n,把前面的 out字符串 输出，然后 n 直接输出在末尾就行
    # 判断是否换行，最后一个没有';'，用是否包含 '+' 取了巧规避了
    # 由于这是最后一位数，所以也能控制 '+' 不会添加在末尾 
    if n == startnum:
        print(out + str(n),end='')
        count += 1
        if  (count % 4) ==0:
            print()
        elif '+' in out:
            print(';',end='')
        return

    # 最后当然还要输出一个前面没有加和的整数
    # if startnum < n:
    f(n,n,out)

main()

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参考资料

感谢以下资料在解决该问题时提供的帮助，大家也可以参考看看。
这篇是递归方式
7-37 整数分解为若干项之和（20 分）- lingr7
这篇用了递推方式
PTA_数据结构学习与实验指导_题解_2-2.5 整数分解为若干项之和 - 满眼星辰