复数特征值求特征向量_高等代数|7.1线性变换的特征值与特征向量的相关问题...

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摘要：本节我们来介绍一下的线性变换的特征值与特征向量，这一节的话，是我们在考试中必考的内容，对于不同的特征值与特征向量大家要掌握好最基本的定义,然后利用空间的一些定义取解决基础问题.

例1.设是线性空间上的线性变换，他在基下的矩阵为

求的特征值与特征向量.

证明：的特征多项式为

所以的特征值为-1(2重)，5.

当特征值为-1时，求解线性方程组得基础解系为

当特征值为5时，求解线性方程组的基础解系为

所以的属于特征值-1的两个线性无关的特征向量为作为坐标对应的向量，即

的属于特征值5的特征向量为作为坐标对应的向量，即

例2.(2020中国科学院大学)表示实数域上所有次数小于(>1)的多项式之集，它是实数域上维线性空间，求导算子

是上的线性变换.

(1)对于任意实数,证明平移算子

是上的线性变换，并且存在一个多项式,使得.

(2)分别求出在基

下的矩阵.

证明：(1)由于

故是线性映射.

因为

令

则.

(2)对应得矩阵为,对应的矩阵为.

例3.(2020西安电子科技大学)设矩阵空间的子空间为

中的线性变换为，求V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵.

证明：易知

为的一组基，

则有

即

令

则有

即的特征值为0(1重)，2(2重)

当特征值为2时，求解线性方程组,可得基础解系为

故特征值2对应的特征子空间为

当特征值为0时，求解线性方程组可得基础解系为

故特征值0对应的特征子空间为

我们不妨取基

则有

例4.(2020武汉大学)设是上的线性变换，

,试求 的特征值与特征子空间.

证明：取的一组基

则有

于是在基下的矩阵为

于是

特征值为2(2重),3(2重)

当特征值为2时，求解线性方程组的一个基础解系为

所以线性变换在特征值2下的特征向量为

即属于特征值2的特征子空间为

当特征值为3时，求解线性方程组的一个基础解系为

所以线性变换在特征值3下的特征向量为

即属于特征值3的特征子空间为

例5.在(次数小于等于的多项式加上零化多项式加上零多项式构成的线性空间)中定义变换

(1)证明：为线性变换；

(2)令为中的恒等变换，求的全部特征值；

(3)在中取一组基，使得在此基下的矩阵为形.

证明：(1)按照定义证明即可；

(2)取基为

则在此基下的矩阵为

故在此基下的矩阵为

而,故所求特征值为1(重根).

(3)取

即可.

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