常见“树”概念解析（1）

树是许多成熟的项目所使用的基本数据结构，也是面试常考、程序员必备的重中之重。

1 底层基础概念

1.1 平衡树

所谓平衡树的平衡，就是树上某节点的所有子树的高度差的绝对值不超过1，该规律应用在树中所有节点上。如果该树是二叉树，则该树是常见的是平衡二叉树。

1.2 平衡二叉树

满足平衡树概念的二叉树，常见实现有：

• 红黑树
• AVL树（平衡二叉树）
• 替罪羊树
• Treap（树堆）
• 伸展树

最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

1.2.1 二叉树的平衡方法

• 二叉左旋

  一棵二叉平衡树的子树，根是Root，左子树是x，右子树的根为RootR，右子树的两个孩子树分别为RLeftChild和RRightChild。则左旋后，该子树的根为RootR，右子树为RRightChild，左子树的根为Root，Root的两个孩子树分别为x（左）和RLeftChild（右）。

• 二叉右旋

  一棵二叉平衡树的子树，根是Root，右子树是x，左子树的根为RootL，左子树的两个孩子树分别为LLeftChild和LRightChild。则右旋后，该子树的根为RootL，左子树为LLeftChild，右子树的根为Root，Root的两个孩子树分别为LRightChild（左）和x（右）。

1.3 查找树（搜索树）

《算法导论》的定义：

查找树是一种数据结构，既可以用作字典，也可以用作优先队列。

查找树支持多种动态集合操作：SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、PREDECESSOR（前）、SUCCESSOR（后）、INSERT以及DELETE。

查找树是有序的，具体表现为：树上某节点的左边所有子树的值<该节点的值<该节点的右边所有子树的值。该规律应用在树中所有节点上。如果该树是二叉树，则该树是常见的是二叉查找（搜索）树。

1.4 二叉查找（搜索、排序）树(BINARY SEARCH/SORT TREE)

在二叉查找树上执行上述基本操作的时间与树的高度成正比。下图所示是二叉查找树：

binary-search-tree

用链表表示的话，每个节点都是一个对象，节点中的data称之为Key关键字。

2 常见数据结构

2.1 红黑树

2.1.1 《算法导论（第2版）》的定义：

红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树。在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是红或者黑。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有任何一条路径会比其他路径长出两倍。

上图二叉查找树中，一个节点对象有四个域：key，left，right，p（parent），而红黑树有五个域：color， key，left，right，p。key域不为空的这里称之为内节点，而key域为空的并且没有一个子节点或父节点的Nil节点视为外节点（如果有不懂请看下图）。

一颗二叉查找树如果满足如下的红黑性质，则是红黑树：

1. 每个节点或是红的或是黑的。
2. 根节点是黑的。
3. 叶节点（Nil节点）是黑的。
4. 如果一个节点是红的，它两个孩子节点都是黑的。
5. 对每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径包含相同数目的黑色节点。

下图是一个红黑树的例子：

red-black-tree

上图中有个哨兵的概念，该解释在《算法导论》10.2链表章节：

哨兵（sentinel）是个哑（dummy）对象，可以简化边界条件，例如，有链表L和一个对象nil[L]，后者表示Nil，但也包含和其他元素一样的各个域。现在就可以将链表算法代码中出现的每次对Nil的引用，用对哨兵元素nil[L]的引用来代替。这样，就可以一个一般的双向链表，变成一个带哨兵的环形双向链表。这时，链表的head不再需要了，因为可以通过next[nil[L]]来访问表头。如下图：

sentinel-in-list

好，回到红黑树来。同样，为了处理红黑树T中的边界条件，采用哨兵来代表Nil，就可以将节点x的Nil孩子视为一个其父节点为x的普通节点。虽然我们可以在树内的每个Nil都做一个哨兵节点但是显然浪费空间，所以采用一个哨兵nil[T]来代表所有的Nil节点。

从某个节点x出发（不包括该节点）到达一个叶节点的任意路径上，黑色节点的个数称之为该节点的黑高度，用bh(x)表示，红黑树的黑高度定义为根节点的黑高度。

2.1.2 为什么红黑树是种好的查找树

《算法导论》中对红黑树的高度引理如下：

一颗有n个内节点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

其证明如下：

先来通过归纳法证明以某一节点x为根的子树至少包含2^bh(x)-1个内节点。

• 如果x的高度是0，x必为一叶节点（nil[T]），这时bh(x)=0，满足2^bh(x)-1=0个内节点。

• 考虑一个其高度值为正值的内节点x，它有两个child，每个child根据其自身颜色是红还是黑，对应有黑高度bh(x)或bh(x)-1。因为x的child的高度小于x自身的高度，利用归纳，可得出每个child至少包含2^{(bh(x)-1)-1个内节点。这样，以x为根的子树至少包含(2}(bh(x)-1)-1)+(2^{(bh(x)-1)-1)+1即左子树节点和右子树节点加根节点的和，也就是2}(bh(x))-1个内节点。

这样证明了前面的推断。

设h为树的高度，根据性质4（如果一个节点是红的，它两个孩子都是黑的），可得出从根到叶节点（不包括根）的任何一条简单路径上至少有一半的节点是黑色。从而根的黑高度至少是h/2，所以，

n >= 2^(h/2) - 1

1移到另一侧，两边取对数，得

lg(n+1) >= h/2， 或者h <= 2lg(n+1)

所以，红黑树的动态集合操作可以在O(lgn)时间复杂度实现，因为从根到底的时间复杂度是O(h)。

红黑树的具体实现可以参考博文。

2.2 B树（B-树）

B树是为磁盘或其他直接存取辅助设备而设计的一种平衡查找树。与红黑树类似，但在降低磁盘I/O操作次数方面要好一些。许多数据库使用B树或B树的变形来存储信息。

B树是多叉树，这就是说，B树的“分支因子”可能很大，这一因子常常由所使用的磁盘特性决定的。

下图给出一个简单B树：

sentinel-in-list

(解释一下图中节点由广度遍历顺序分别是 M、D H、Q T X、B C、F G、J K L、N P、R S、V W、Y Z)。

如果B树的内节点x包含n[x]个关键字，则x就有n[x]+1个子女。节点x中的关键字是用来将x所处理的关键字域划分成n[x]+1个子域的分割点，每个子域都由x中的一个子女来处理。

2.2.1 《算法导论（第3版）》的定义（B树的定义第3版比第2版清晰不易误解）：

一棵B树T是具有如下性质的有根的树（根为root[T]）：

1. 每个节点x有以下域：
   • x.n，当前存储在节点x中的关键字个数
   • x.n个关键字本身x.key1，x.key2，……，x.keyx.n，非降序存放，使得x.key1<=x.key2<=...<=x.keyx.n。
   • x.leaf，一个布尔值，如果x是叶节点，则为true，如果x是内部节点，则为false。
2. 每个内部节点x还包含x.n+1个指向其children的指针x.c1，x.c2，……，x.c(x.n+1)。叶节点没有child。
3. 关键字x.keyi对存储在各子树上的关键字范围加以分割，如上面提到。如果ki为任何一个存储在以x.ci为根的子树中的关键字，那么

   k1<=x.key1<=k2<=x.key2<=...<=x.keyx.n<=k(x.n+1)

4. 每个叶节点具有相同的深度，即树的高度
5. 每个节点所包含的关键字个数有上界和下界。用一个被称为B树的最小度数（minimum degree）的固定整数t>=2来表示这些界：
   • 除了根节点以外的每个节点必须至少有t-1个关键字，所以内部结点至少会有t个child，如果树非空，根节点至少有一个关键字。
   • 每个节点至多包含2t-1个关键字，因此，一个内部结点最多有2t个child，当节点恰好有2t-1个关键字，称之为满（full）节点。

t=2时，B树每个内部结点有2、3、4个child，称之为2-3-4树。

而另外一种B*树，要求每个内节点至少2/3满，而不是像B树一样要求至少半满。

2.2.2 B树的高度

对于一个包含n个关键字(n>=1)，最小度数t>=2的B树T，其高度h满足如下规律：

h<=logt(n+1)/2

从这一点也看出当对数的底t越大，h越小，所以这也是B树的查找速度优于红黑树的原因。

2.2.3 B树与磁盘

为了平摊等待移动磁臂的时间，磁盘会一次读取多个数据项。信息被分割成一些在柱面上连续出现的相等大小的位的页面，每次磁盘读写的都是一个或多个磁盘页。信息在大多数的系统中，B树算法的运行时间主要由它所执行的DISK-READ和DISK-WRITE操作的次数决定。在B树中，一个节点的大小通常相当于一个完整的磁盘页。因此，一个B树节点可以拥有的子女数就由磁盘页的大小决定。

下一篇文章，我们会讲B+树和LSM树的概念，未完待续。。。