P3059 [USACO12NOV] Concurrently Balanced Strings G 题解
前言
现在是 2023 2023 2023 年 7 7 7 月 29 29 29 日凌晨 1 1 1 点 47 47 47 分，我听着我歌单的歌，进入了精神极其不正常的状态（正经人谁在凌晨边听摇滚边写题啊）。
所以我会胡言几句，大家请选择性忽视。
这道题是我们欢乐赛搬的，考场上用朴素的 O ( n m 2 ) O(nm^2) O(nm2) 双指针水出了 89 89 89 分的佳绩。
考试之后因为没有暴切十分气愤啊！所以研读了一手第一篇题解，写出了这个没什么区别但是有大区别的高级重置优秀版。
原题展现
农夫约翰养了一只非常特殊的奶牛品种，以其独特的外貌而闻名，每只奶牛的皮上都有一个巨大的圆形斑点（根据奶牛的朝向不同，这可能看起来像左括号或右括号）。
一天早上，约翰把他的奶牛们分成了 K K K 行，每行 N N N 头奶牛（ 1 ≤ K ≤ 10 , 1 ≤ N ≤ 50 , 000 1 \leq K \leq 10, 1 \leq N \leq 50,000 1≤K≤10,1≤N≤50,000）。由于奶牛们朝向任意方向，所以这个队列可以用 K K K 个长度为 N N N 的括号字符串 S 1 , . . . , S k S_1,..., S_k S1,...,Sk 来描述。约翰非常激动地注意到他的牛群中有一些“并发平衡”的范围，其中范围 i . . . j i...j i...j 的奶牛只有在每个字符串 S 1 , . . . , S k S_1,..., S_k S1,...,Sk 在该范围内都是平衡的情况下才能同时平衡（我们将在下面定义单个括号字符串平衡的含义）。例如，如果 K = 3 K = 3 K=3 ，我们有
- S 1 = )()((())))(()) S_1 = \texttt{)()((())))(())} S1=)()((())))(())
- S 2 = ()(()()()((()) S_2 = \texttt{()(()()()((())} S2=()(()()()((())
- S 3 = )))(()()))(()) S_3 = \texttt{)))(()()))(())} S3=)))(()()))(())
那么范围 [ 3...8 ] [3...8] [3...8] 是并发平衡的，因为 S 1 [ 3...8 ] = ((())) S_1[3...8] = \texttt{((()))} S1[3...8]=((())) ， S 2 [ 3...8 ] = ()()() S_2[3...8] = \texttt{()()()} S2[3...8]=()()() ， S 3 [ 3...8 ] = (()()) S_3[3...8] = \texttt{(()())} S3[3...8]=(()()) 。范围 [ 10...13 ] [10...13] [10...13] 和 [ 11...12 ] [11...12] [11...12] 也是并发平衡的。
给定 K K K 个长度为 N N N 的括号字符串，帮助约翰计算范围 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的数量，使得范围 i . . . j i...j i...j 在 K K K 个字符串中都是并发平衡的。
对于单个括号字符串的“平衡”的定义有几种方式。也许最简单的定义是括号的数量必须相等，并且对于字符串的任何前缀，左括号的数量必须至少和右括号的数量一样多。例如，以下字符串都是平衡的：
- () \texttt{()} ()
- (()) \texttt{(())} (())
- ()(()()) \texttt{()(()())} ()(()())
而这些字符串则不是平衡的：
- )( \texttt{)(} )(
- ())( \texttt{())(} ())(
- ((()))) \texttt{((())))} ((())))
给出 K K K 个长度为 N N N 的括号序列，问有多少个区间在 K K K 个序列中对应的子串均平衡。
我自己机翻的。
题目分析
第一次转换
括号序列的合法可以运用一个转换来判断。
把左括号变成 1 1 1，右括号变成 − 1 -1 −1，然后求前缀和 s u m sum sum，合法的序列 [ l , r ] [l,r] [l,r] 当且仅当满足 s u m r = s u m l − 1 sum_r=sum_{l-1} sumr=suml−1 和 s u m l − 1 ≤ s u m i ( i ∈ [ l , r ] ) sum_{l-1}\leq sum_{i}(i\in[l,r]) suml−1≤sumi(i∈[l,r])。
显然第一个条件比较好维护，第二个条件是一个类似于范围的东西，所以先处理第二个条件比较好。
那么我们怎么来找出满足这两个条件的序列呢？
我们可以枚举左端点 l l l，然后找 r r r，为什么不用 r r r 呢？我们发现判断与前缀有关与后缀无关。
第二次转换
在考虑满足第二个条件之前，我们还有一个棘手的问题：
我们还要转换一下，我们发现对于 l l l 可能有多个 r r r 是合法的，比如 ()()() \texttt{()()()} ()()() 这种括号序列。
这是怎么回事呢？我们发现 l l l 匹配了第一个答案 r 1 r_1 r1 之后，后面可能会并列其他的括号序列，只有这种情况，这个原因很简单，不证明。
我们发现对于其他的 r r r，我们完全可以去掉 [ l , r 1 ] [l,r_1] [l,r1] 这个部分，由 r 1 + 1 r_1+1 r1+1 开始向后匹配，方案数是从 l l l 匹配的方案减去一（因为你不能向前匹配 r 1 r_1 r1）。
收到启发我们可以求出 r 1 r_1 r1 然后从后向前求出 f i = f r 1 + 1 + 1 f_i=f_{r_1+1}+1 fi=fr1+1+1。
第二个条件
好了，接下来考虑满足第二个条件，我们怎么求出限制范围？
我们发现说起来第一个小于本项的好像维护起来没什么头绪，但是我们仔细观察，我们会发现边界是很有特点的！
因为我们的前缀和每次不是加一就是减一，所以第一个小于本项一定为 s u m l − 1 − 1 sum_{l-1}-1 suml−1−1 啊！
那边界不就很好求了？我们考虑维护一个我们后面 f i r x fir_x firx 表示 s u m i = x sum_i=x sumi=x 合法的一个最小的 i i i。
可以倒序去做（这道题很多倒序啊），来维护。
最后就求出了一个边界了，由于这道题字符串不唯一，所以我们要对于 l l l 取所有字符串中的边界最小值。
第一个条件
第一个条件就很简单了，但是第一条不是一个告诉我们“不可以”的条件，而是让我们“怎么做”的条件，所以和第二个条件的维护略有不同。
我们求出一个最小的 r r r 使得对于每个字符串 s u m r = s u m l − 1 sum_r=sum_{l-1} sumr=suml−1，说白了，我们把所有字符串的前缀和摆成二维表格，我们怎么快速判断两列的信息是否相同？
相信“快速判断”“信息相同”应该可以让你快速想到哈希，我们用哈希来存储一列的信息，然后用第二个条件的方式来做。
由于值域比较大，用 map 维护是一个不错的选择，我们就可以找到第一个和当前列完全相同的一列。
注意我们需要和第二个条件结合，如果我们维护出的 r 1 r_1 r1 超越了边界，那么一定是无解的，因为我们这个已经是最小解了，所以我们用各种小手段阻止统计即可。
求出 r 1 r_1 r1 之后保存即可，后面倒序统计答案用。
时间复杂度懒得算，大概是 O ( n m log m ) \mathcal O(nm\log m) O(nmlogm) 的。
代码实现
注意保存 i i i 对应的 r 1 r_1 r1 是代码的 nxt 数组。
#include