近世代数理论基础38：n(≥5)次一般代数方程的根式不可解性

n()次一般代数方程的根式不可解性

根式扩张

定义：若,且使,即,则称为根式扩张

根式可解

定义：设F为域,且为首1多项式,,E为在F上的分裂域,方程称为在域F上根式可解,指存在域的根式扩张序列满足：

1.均是根式扩张,即

2.

注：

1.从域F扩张成K是由有限次添加元的根号得到的

2.f(x)的全部根都在K中

3.f(x)=0的所有根可通过F中元的四则运算和开根号运算表达

可解群

定义：设有限群G有正规子群列,其中表示是的正规子群,若商群均是交换群,则称G为可解群

定理：设域F的特征为0,且为首1多项式,,则在F上根式可解当且仅当在F上的伽罗瓦群为可解群

定理：设,为n个不定元,F是特征为0的域,则一般方程在F上的伽罗瓦群为对称群

证明：

当时,是不可解群

推论：当时,n次一般代数方程是根式不可解的

时,一般代数方程是根式可解的

时,的解为

时,中

代入得关于y的三次方程,且无项

故考虑方程

令

使

此时方程的三个解为

其中为3次单位根

时类似,考虑方程

解出三次方程的三个根

令,且

此时方程的四个解为