代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找

文章目录

  • (简单)35. 搜索插入位置
  • (*中等)34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
  • (简单,常见面试题)69. x的平方根
  • (简单) 367. 有效的完全平方数


# (简单)704. 二分查找

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第1张图片

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代码随想录 - 二分查找思路

二分查找,思路很简单,但是在while循环left和right的比较是写<=还是<,还有right=mid还是right=mid-1容易混淆

需要想清楚对区间的定义,是[left,right],还是[left,right)

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第2张图片

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第3张图片
代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第4张图片

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第5张图片
代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第6张图片

(版本一,左闭右闭版本)

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right-left)/2);//防止溢出
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            if (target > nums[mid]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

(版本二,左闭右开)

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {

        //避免当target小于nums[0] 或者大于 nums[nums.length-1]时 多次循环
        if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {
            return -1;
        }

        int left = 0;
        int right = nums.length;
        int mid;
        while (left < right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            if (target > nums[mid]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return -1;
    }
}

(简单)35. 搜索插入位置

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代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第7张图片

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            if (target > nums[mid]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;//right+1
    }
}

(*中等)34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第8张图片
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我的思路:按照传统二分查找的方式,找到等于target的数组的下标,然后向两边扩展,如果没找到直接返回[-1,-1]

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第9张图片

class Solution {

    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {

        //如果数组长度是0,则不用判断
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        //如果target的值小于第一个元素或者大于最后一个元素,也不用判断
        if ((target < nums[0]) || (target > nums[nums.length - 1])) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        int res = search(nums, target);
        if (res == -1) {
            return new int[]{-1, -1};
        }
        int left = res;
        int right = res;
        while ((left >= 0) && (nums[left] == nums[res])) {
            left--;
        }
        while ((right < nums.length) && (nums[right] == nums[res])) {
            right++;
        }
        return new int[]{left + 1, right - 1};
    }

    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target == nums[mid]) {
                return mid;
            }
            if (target > nums[mid]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

看了官方的解题思路,是找出数组中【第一个等于target的位置(leftIdx)】和【第一个大于target的位置减一(rightIdx)】

二分查找中

  • 寻找leftIdx即为在数组中寻找第一个大于等于 target的下标
  • 寻找rightIdx即为在数组中寻找第一个大于 target的下标,然后减一

二者的判断条件不同,为了代码的复用,定义一个函数,其中包含布尔类型的lower参数,该参数为true时,则查找第一个大于等于target的下标,该参数为false时,则查找第一个大于target的下标

最后,因为target可能不在数组中,因此需要重新校验两个下标leftIdx和rightIdx,看是否符合条件,如果符合,就返回[leftIdx,rightIdx],不符合就返回[-1,-1]
代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第10张图片

class Solution {

    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {

        //如果数组长度是0,则不用判断
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        //如果target的值小于第一个元素或者大于最后一个元素,也不用判断
        if ((target < nums[0]) || (target > nums[nums.length - 1])) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        int leftIdx = search(nums, target, true);
        int rightIdx = search(nums, target, false) - 1;

        if (leftIdx >= 0 && rightIdx < nums.length && leftIdx <= rightIdx && nums[leftIdx] == target && nums[rightIdx] == target) {
            return new int[]{leftIdx, rightIdx};
        }
        return new int[]{-1, -1};

    }

    public int search(int[] nums, int target, boolean lower) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int mid;
        int ans = nums.length;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);

            //说明当前的mid所在的值比target大,需要缩小范围
            //找leftIdx,如果target小于nums[mid],缩小范围
            //如果target==nums[mid],也要缩小范围,但是会记录mid
            //找rightIdx,只要target
            if (target < nums[mid] || (lower && target == nums[mid])) {
                right = mid - 1;
                ans = mid;
            } else {
                //找rightIdx,只要target < nums[mid] 不成立
                //也就是target=nums[mid]或者target>nums[mid] left都会变化
                left = mid + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

(简单,常见面试题)69. x的平方根

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第11张图片
我的思路,将x的值赋给tmp,将tmp不断除以2

记录下面两个数,在这两个数之间使用二分查找:

  1. 使得tmp^2小于x的最大的tmp值
  2. 使得tmp^2大于x的最小的tmp值
class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }

        int pre = x;
        int tmp = x / 2;
        while (tmp > x / tmp) { //原来是 tmp * tmp > x
            pre = tmp;
            tmp /= 2;
        }

        if (tmp == x / tmp) { //原来是 tmp * tmp == x 
            return tmp;
        }

        //pre和tmp之间找到答案,缩小范围
        return search(x, tmp, pre);
    }

    public int search(int x, int tmp, int pre) {
        int left = tmp;
        int right = pre;
        int mid;
        int ans = tmp;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (mid == x / mid) { //原来是 mid * mid == x
                return mid;
            }
            if (mid > x / mid) { // 原来是mid * mid > x
                right = mid - 1;
            } else {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

官网解答,笔记:

在不使用 x \sqrt{x} x 函数的情况下,得到x的平方根的整数部分。一般的思路有以下几种:

  • 通过其它的数学函数代替平方根函数得到精确结果,取整数部分作为答案
  • 通过数学方法得到近似结果,直接作为答案

方法一 袖珍计算器算法

【袖珍计算器算法】是一种用指数函数exp和对数函数ln代替平方根函数的方法。通过有限的、可以使用的数学函数,得到想要的结果。

在这里插入图片描述
当x=2147395600时, e 1 2 ln ⁡ x e^{\frac{1}{2}\ln x} e21lnx​的计算结果与正确值46340相差 1 0 − 11 10^{-11} 1011,这样在对结果取整数部分时,会得到46339这个错误结果。

因此,在得到结果的整数部分ans后,应该找出ans与ans+1中哪一个是真正的答案。

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }
        int ans = (int) Math.exp(0.5 * Math.log(x));
        return (long) (ans + 1) * (ans + 1) > x ? ans : ans + 1;
    }
}

方法二 二分查找

由于x平方根的整数部分ans是满足 k 2 ≤ x k^2 \leq x k2x的最大k值,因此可以对k进行二分查找,从而得到答案

二分查找的下界是1,上界可以粗略的=地设定为x。在二分查找中的每一步中,我们只需要比较中间元素mid的平方与x的大小关系,并通过比较的结果调整上下界的范围。由于我们所有的运算都是整数运算,所以,不会存在误差,因此在得到最终的答案ans后,也就不需要再去尝试ans+1了。

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }
        int left = 1;
        int right = x;
        int mid;
        int ans = -1;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if ((long) mid * mid == x) {
                return mid;
            }
            if ((long) mid * mid < x) {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

(简单) 367. 有效的完全平方数

代码随想录 LeetCode数组篇 二分查找_第12张图片
二分查找

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        if (num == 1) {
            return true;
        }
        int left = 1;
        int right = num;
        int mid;
        while (left <= right) {
            mid = left + ((right - left) >> 1);
            if ((long) mid * mid == num) {
                return true;
            }
            if ((long) mid * mid < num) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return false;
    }
}

当然还可以使用内置的库函数

根据完全平方数的性质,只需要判断num的平方根x是否为整数即可。

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int x = (int) Math.sqrt(num);
        return x * x == num;
    }
}

还有暴力法

如果num为完全平方数,那么一定存在正整数x满足x * x = num。于是,可以从1开始遍历所有的正整数,一直遍历到46340即可,因为 2 31 − 1 ≈ 46340 \sqrt{2^{31}-1} \approx 46340 2311 46340

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        if (num == 1) {
            return true;
        }
        for (int i = 2; i <= 46340; i++) {
            if (i * i > num) {
                break;
            }
            if (i * i == num) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

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