高中奥数 2022-01-23

2022-01-23-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P054 习题33）

设为不小于2的正整数.求所有的实系数多项式

使得恰有个不大于1的实根,并且

解

由条件,可设

这里,且.

利用可知

$a_{n}^{2}\left(\prod\limits_{i=1}^{n} \beta_{i}\right)^{2}+a_{n}^{2}\left(\prod\limits_{i=1}^{n} \beta_{i}\right) \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{\beta_{i}}=a_{n}^{2}+\left(\prod\limits_{i=1}^{n} \beta_{i}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \beta_{i}\right) a_{n}^{2} .$

于是

下面对运用数学归纳法证明:当,时,都有

等号当且仅当中有个数等于1时成立.

当时,若、,则有如下等价关系成立

$\begin{aligned} \beta_{1} \beta_{2}-\dfrac{1}{\beta_{1} \beta_{2}} & \geqslant\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)-\left(\dfrac{1}{\beta_{1}}+\dfrac{1}{\beta_{2}}\right) \\ & \Leftrightarrow\left(\beta_{1} \beta_{2}\right)^{2}-1 \geqslant\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)\left(\beta_{1} \beta_{2}-1\right) \\ & \Leftrightarrow\left(\beta_{1} \beta_{2}-1\right)\left(\beta_{1}-1\right)\left(\beta_{2}-1\right) \geqslant 0 . \end{aligned}$

所以时,上述命题成立.

设命题对时成立,当时,我们令,由归纳假设,可知

等号当且仅当中有个等于1时成立.

又由的情形,可知.于是

等号当且仅当中有个为1,并且与中有一个为1时成立,而这等价于中有个为1时成立.

由上述结论及(1)式可知,形如,,的多项式为所有满足条件的多项式.

2022-01-23-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P055 习题34）

设是一个整系数多项式,满足:对任意,都有并且对任意,数列

中都有一项是的倍数.证明:.

证明

记,, ,对固定的,,记,则,从而,即.这样利用数学归纳法,可证:对任意,都有

由条件中有一项为的倍数,故存在,使得.而由(1)知数列在的意义下是一个以为周期的数列,故可设.

现由,可知,故,进而.但,故,这要求,即,所以.由于此式对任意都成立,结合为单调递增数列,知对无穷多个不同的正整数成立.

所以.

2022-01-23-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P055 习题35）

设是一个奇次实系数多项式,满足:对任意,都有

证明:.

证明

由条件,得,故.

现设.

对比与展开后的各项系数,可得.

因此,只有非零的奇次项系数,即有.

从而,进而

考虑数列,,.

注意到.

现设,则,,即.

依此由数学归纳法原理知是一个递增数列.

另外,现设,则

于是,但若,则,矛盾.

故.从而,由数学归纳法原理知,对任意,都有.

综上可知,有无穷多个不同的实数,使得.故对任意,都有.

2022-01-23-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P055 习题36）

函数满足下述条件:

(i)对任意实数、,都有;

(ii)存在正整数使得,这里,.

证明:或者.

由(ii),不妨设是最小的使成立的正整数,若,则

$\left|f\left(0\right)\right|=\left|f\left(0\right)-0\right|\geqslant \left|f^{\left(2\right)}\left(0\right)-f\left(0\right)\right|\geqslant \cdots \geqslant \left|f^{\left(k\right)}\left(0\right)-f^{\left(k-1\right)}\left(0\right)\right|=\left|f^{\left(k-1\right)}\left(0\right)\right|,$

而.所以.

如果,那么,矛盾.

如果,那么,由(i)可知

所以,上述不等号全部取等号.

注意到都不为零,于是,由方程组

可知,对,都有,于是,,,依次递推,可得是的正整数倍,与矛盾.

综上可知,命题成立.

高中奥数 2022-01-23

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