2022-01-23-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题33）
设为不小于2的正整数.求所有的实系数多项式
使得恰有个不大于1的实根,并且
解
由条件,可设
这里,且.
利用可知
于是
下面对运用数学归纳法证明:当,时,都有
等号当且仅当中有个数等于1时成立.
当时,若、,则有如下等价关系成立
所以时,上述命题成立.
设命题对时成立,当时,我们令,由归纳假设,可知
等号当且仅当中有个等于1时成立.
又由的情形,可知.于是
等号当且仅当中有个为1,并且与中有一个为1时成立,而这等价于中有个为1时成立.
由上述结论及(1)式可知,形如,,的多项式为所有满足条件的多项式.
2022-01-23-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P055 习题34）
设是一个整系数多项式,满足:对任意,都有并且对任意,数列
中都有一项是的倍数.证明:.
证明
记,, ,对固定的,,记,则,从而,即.这样利用数学归纳法,可证:对任意,都有
由条件 中有一项为的倍数,故存在,使得.而由(1)知数列在的意义下是一个以为周期的数列,故可设.
现由,可知,故,进而.但,故,这要求,即,所以.由于此式对任意都成立,结合为单调递增数列,知对无穷多个不同的正整数成立.
所以.
2022-01-23-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P055 习题35）
设是一个奇次实系数多项式,满足:对任意,都有
证明:.
证明
由条件,得,故.
现设.
对比与展开后的各项系数,可得.
因此,只有非零的奇次项系数,即有.
从而,进而
考虑数列,,.
注意到.
现设,则,,即.
依此由数学归纳法原理知是一个递增数列.
另外,现设,则
于是,但若,则,矛盾.
故.从而,由数学归纳法原理知,对任意,都有.
综上可知,有无穷多个不同的实数,使得.故对任意,都有.
2022-01-23-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P055 习题36）
函数满足下述条件:
(i)对任意实数、,都有;
(ii)存在正整数使得,这里,.
证明:或者.
由(ii),不妨设是最小的使成立的正整数,若,则
而.所以.
如果,那么,矛盾.
如果,那么,由(i)可知
所以,上述不等号全部取等号.
注意到都不为零,于是,由方程组
可知,对,都有,于是,,,依次递推,可得是的正整数倍,与矛盾.
综上可知,命题成立.