MATLAB系统仿真其三：Lorenz和Rossler系统混沌同步

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前言

混沌是确定性系统中，有限相空间内的高度不稳定运动。自1963年Lorenz证明大气对流模型中存在混沌，非线性系统的混沌被广泛研究。人们一方面希望电路产生混沌，另一方面又希望混沌是可控的，以此来达到混沌通信或者混沌控制的目的，因此混沌同步是必不可少的。1991年，美国海军实验室的Pecora和Carroll研究 维动态系统驱动同步问题时，得出了子系统同步的必要条件：子系统分量的李亚普诺夫指数全为负。本文是非线性系统混沌同步的MATLAB仿真。

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一、非线性系统的扩散耦合

首先考虑典型参数的Lorenz系统和Rossler系统，系统设置详见以往的文章MATLAB混沌系统仿真其一：Lorenz系统和Rossler系统。根据文章的研究结果，典型参数下，相同系统主从式驱动时，其响应系统的三个分量的李亚普诺夫指数分别如下：

因此使用$y$分量驱动的Rossler系统、使用$x$或$z$分量驱动的Lorenz系统可以混沌同步。利用混沌同步进行电路通信的仿真与实验也早已做出。

二、不同系统间的混沌同步

在他们后续的研究中，混沌的同步可以拓展到更大范围，比如完全不同的两个非线性系统，在合适的条件下驱动也可以达成混沌同步(可见其97年的相关专著)，当然，通常是增加注入强度。

这就非常有意思了，不妨仿真其在文章中证明可以同步的系统：这里采用扩散耦合的方式使用Rossler系统的$y$分量驱动Lorenz系统：

Rossler系统	Lorenz系统
$d{x}_1=-\left(y_1+z_1\right)$	$d{x}_2=-\sigma \left(x_2-y_2\right)$
$d{y}_1=x_1+a{y}_1$	$d{y}_2=r{x}_2-y_2-x_2{z}_2+K(y_2-y_1)$
$d{z}_1=b+z\left(x_1-c\right)$	$d{z}_2=-\beta z_2+x_2{y}_2$

其中$K$是耦合强度。
驱动的Rossler系统直接使用定步长的ode45函数计算，方便简洁，可参考以下程序：

y0=[1;0;1];%初值矩阵
tspan=0:0.001:200;
k=40;%耦合强度
t0=100;%注入时间
[t,y]=ode45(@rossler,tspan,y0);

Rossler的吸引子如下，可以看出，与Lorenz的蝴蝶型吸引子完全不相同。

而对于从系统，只需要在之前文章MATLAB混沌系统仿真其一：Lorenz系统和Rossler系统的基础上，修改Lorenz系统公式，加入上述Rossler系统$y$分量的扩散耦合项，然后进行正常迭代求解即可。

同时，为了追求更直观地显示结果，这里修改了以前其一中写的rk4函数(使用ode也可以完成)，将注入时间设定为100，然后不断增加注入强度，观察两个系统输出的$y$分量波形的比较。

修改后的完整程序已经上传，可以直接下载运行对应程序

三、混沌同步结果

可以看出，在非线性系统中，使用子系统驱动另一个非线性系统(就像此处的使用Rossler系统的$y$分量驱动Lorenz的$y$分量)，在耦合强度$K$足够大，超过临界耦合条件，可以达成两系统的同步。

不同的驱动方式和不同的系统在混沌同步中具有不同的表现，耦合方式也不仅有扩散耦合，如Deniz Eroglu在17年的论文里直接使用两个初值不同的Lorenz系统，但两个系统的$x$分量相同。本文的混沌同步是不完全的同步(因为驱动-响应并非相同的系统)，属于广义同步，但是这样的同步已经足够用于通信。在一些文章的理论分析与实验结果中，驱动-响应系统越接近，则同步效果越好。电路系统可以轻易达成混沌同步，但由于带宽限制和衰减，电路的混沌通信受到严重限制，全光混沌通信虽然对器件的要求更高，但是其通信的高速率与高带宽，使其在未来更具有潜力。