整数规划——第七章 分支定界算法

整数规划——第七章 分支定界算法

目前大部分整数规划商业软件如CPLEX,Gurobi和BARON等都是基于分枝定界算法框架的。

7.1 最优性条件和界

考虑下列一般线性整数规划问题:
(IP) min ⁡ c T x , s . t .   A x ≤ b , x ∈ Z + n (7.1) \text{(IP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in \Z_+^n \end{aligned}\tag{7.1} (IP)mincTx,s.t. Axb,xZ+n(7.1)
其中 Z + n \Z_+^n Z+n R n \R^n Rn 中的非负整数集合,给定(IP)的可行点 x ∗ x^* x ,如何验证 x ∗ x^* x 是(IP)的最优解?

f ∗ f^* f 是(IP)的最优值,假设可以产生 f ∗ f^* f 的下界序列满足:
f ‾ 1 ≤ f ‾ 2 ≤ ⋯ f ‾ k ≤ ⋯ ≤ f ∗ , \underline{f}_1\le \underline{f}_2\le \cdots\underline{f}_k\le \cdots\le f^*, f1f2fkf,
同时可以产生 f ∗ f^* f 的上界序列满足
f ‾ 1 ≥ f ‾ 2 ≥ ⋯ ≥ f ‾ k ≥ ⋯ ≥ f ∗ \overline{f}_1\ge \overline{f}_2\ge \cdots \ge\overline{f}_k\ge \cdots \ge f^* f1f2fkf
f ‾ k − f ‾ k ≤ ε \overline f_k-\underline f_k\le \varepsilon fkfkε 对一个很小的 $\varepsilon \ge 0 $ 成立,则显然有
f ∗ − ε ≤ f ‾ k ≤ f ∗ f^*-\varepsilon \le \underline{f}_k\le f^* fεfkf
问题(IP)的任何可行解 x k x^k xk 都对应 f ∗ f^* f 的一个上界 f ( x k ) = f ‾ k f(x^k)=\overline{f}_k f(xk)=fk,若 f ‾ k − f ‾ k ≤ ε > 0 \overline f_k-\underline f_k\le \varepsilon >0 fkfkε>0,则 x k x^k xk 是一个 ε \varepsilon ε 近似最优解,显然有如下定理:

定理7.1 { f ‾ k } \{\overline f_k\} {fk} { f ‾ k } \{\underline f_k\} {fk} f ∗ f^* f 的上界序列和下界序列,若 f ‾ k − f ‾ k = 0 \overline f_k-\underline f_k=0 fkfk=0 x k x^k xk 是(IP)的可行解, f ( x k ) = f ‾ k f(x^k)=\overline f_k f(xk)=fk,则 x k x^k xk 是(IP)的最优解。

常用的求线性整数规划问题下界的方法有两种:线性规划松弛和对偶松弛。

定义7.1 线性规划
(LP) min ⁡ c T x , s . t .   A x ≤ b , x ∈ R + n \text{(LP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in \R_+^n \end{aligned} (LP)mincTx,s.t. Axb,xR+n
成为整数规划(7.1)的线性规划松弛,也称为(LP)的连续松弛

显然,(LP)的最优值总是(IP)的最优值的一个下界,易证下列性质:

定理7.2

  1. 若(LP)不可行,则(IP)也不可行;
  2. x ∗ x^* x是(LP)的最优解且 x ∗ ∈ Z n x^*∈\Z^n xZn,则 x ∗ x^* x也是(IP)的最优解.

拉格朗日对偶松弛是另一种很有用的定界方法。考虑下面的整数规划问题:
(IP) min ⁡ c T x , s . t .   A x ≤ b , x ∈ X (7.2) \text{(IP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in X \end{aligned}\tag{7.2} (IP)mincTx,s.t. Axb,xX(7.2)
此处 X X X 是一个整数集合,如 X = { 0 , 1 } n , X = { x ∈ Z n   ∣   l ≤ x ≤ u } X=\{0,1\}^n,X=\{x\in \Z^n\ |\ l\le x\le u\} X={0,1}nX={xZn  lxu}。设 λ ∈ R + m \lambda \in \R_+^m λR+m,考虑朗格朗日松弛问题:
d ( λ ) = min ⁡ x ∈ X c T x + λ T ( A x − b ) d(\lambda)=\underset{x\in X}{\min}c^T x+\lambda^T(Ax-b) d(λ)=xXmincTx+λT(Axb)
则对任意(7.2)的可行解 x x x λ ∈ R + m \lambda \in \R_+^m λR+m,有 d ( λ ) ≤ c T x d(\lambda) \le c^Tx d(λ)cTx,故 d ( λ ) d(\lambda) d(λ) 是(IP)的一个下界,而最优的下界可以由下列对偶问题得到:
( D ) max ⁡ λ ∈ R + m   d ( λ ) (D)\qquad \underset{\lambda\in \R_+^m}{\max}\ d(\lambda) (D)λR+mmax d(λ)
在许多情况下计算拉格朗日松弛界 d ( λ ) d(\lambda) d(λ) 往往很容易,如当 X = { 0 , 1 } n X=\{0,1\}^n X={0,1}n 时​ ,
d ( λ ) = − λ T b + ∑ i = 1 n min ⁡ { 0 , c i + λ T a i } d(\lambda) = -\lambda^Tb+\sum_{i=1}^n\min\{0,c^i+\lambda^Ta_i\} d(λ)=λTb+i=1nmin{0,ci+λTai}
其中 a i a_i ai A A A 的第 i i i 列。

7.2 分支定界方法:0-1背包问题

考虑以下0-1背包问题:
(0-1 KP) max ⁡ c T x , s.t.  a T x ≤ b     x ∈ { 0 , 1 } n \text{(0-1 KP)}\qquad\begin{aligned} &\max c^Tx, \\ & \text{s.t.}\ a^Tx\le b\\ &\quad\ \ \ x\in \{0,1\}^n \end{aligned} (0-1 KP)maxcTx,s.t. aTxb   x{0,1}n
这里 c i > 0 , a i > 0 , i = 1 , . . . , n c_i>0,a_i>0,i=1,...,n ci>0,ai>0,i=1,...,n,问题(0-1KP)的线性规划松弛为:
(CKP) max ⁡ c T x , s.t.  a T x ≤ b     x ∈ [ 0 , 1 ] n \text{(CKP)}\qquad\begin{aligned} &\max c^Tx, \\ & \text{s.t.}\ a^Tx\le b\\ &\quad\ \ \ x\in [0,1]^n \end{aligned} (CKP)maxcTx,s.t. aTxb   x[0,1]n
使用贪心法来求解,将 { c i a i } \{\cfrac{c_i}{a_i}\} {aici} 按降序排列,设:
c 1 a 1 ≥ c 2 a 2 ≥ ⋯ ≥ c n a n (7.3) \frac{c_1}{a_1} \ge \frac{c_2}{a_2}\ge \cdots\ge \frac{c_n}{a_n}\tag{7.3} a1c1a2c2ancn(7.3)
s s s 是使下式成立的最大指标 k k k
∑ j = 1 k a j ≤ b (7.4) \sum_{j=1}^ka_j\le b\tag{7.4} j=1kajb(7.4)
定理7.3 线性规划问题(CKP)的最优解为:
x j = 1 , j = 1 , . . . , s x j = 0 , j = s + 2 , . . . , n x s + 1 = ( b − ∑ j = 1 s a j ) / a s + 1 \begin{aligned} &x_j=1,\quad j=1,...,s\\ &x_j=0,\quad j=s+2,...,n\\ &x_{s+1}=(b-\sum_{j=1} ^sa_j)/a_{s+1}\\ \end{aligned} xj=1,j=1,...,sxj=0,j=s+2,...,nxs+1=(bj=1saj)/as+1
f ∗ f^* f 是(0-1KP)的最优值,若 c j c_j cj 都是整数,则 f ∗ f^* f 也是整数,故 f ∗ f^* f 的一个上界为
z = ∑ j = 1 s c j + ⌊ ( b − ∑ j = 1 s a j ) c s + 1 / a s + 1 ⌋ z=\sum_{j=1} ^sc_j+\left\lfloor(b-\sum_{j=1}^s a_j)c_{s+1}/a_{s+1} \right\rfloor z=j=1scj+(bj=1saj)cs+1/as+1
例7.1 考虑下列0-1背包问题:
max ⁡ 8 x 1 + 11 x 2 + 6 x 3 + 4 x 4 s.t.  5 x 1 + 7 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 ≤ 14 x ∈ { 0 , 1 } 4 \begin{aligned} &\max 8x_1+11x_2+6x_3+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+5x_3+3x_4\le 14\\ &\qquad x\in \{0,1\}^4 \end{aligned} max8x1+11x2+6x3+4x4s.t. 5x1+7x2+5x3+3x414x{0,1}4
应用定理7.3,该问题的线性规划松弛的最优解为 x = ( 1 , 1 , 1 2 , 0 ) T x=(1,1,\cfrac{1}{2},0)^T x=(1,1,21,0)T,对应的上界为 22。选择变量 x 3 x_3 x3 进行分枝,固定 x 3 = 0 x_3=0 x3=0 x 3 = 1 x_3=1 x3=1,得到两个子问题:
( P 1 ) max ⁡ 8 x 1 + 11 x 2 + 4 x 4 s.t.  5 x 1 + 7 x 2 + 3 x 4 ≤ 14 x 1 , x 2 , x 3 ∈ { 0 , 1 } (P_1)\quad\begin{aligned} &\max 8x_1+11x_2+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+3x_4\le 14\\ &\qquad x_1,x_2,x_3\in \{0,1\} \end{aligned} (P1)max8x1+11x2+4x4s.t. 5x1+7x2+3x414x1,x2,x3{0,1}

( P 2 ) max ⁡ 6 + 8 x 1 + 11 x 2 + 4 x 4 s.t.  5 x 1 + 7 x 2 + 3 x 4 ≤ 10 x 1 , x 2 , x 3 ∈ { 0 , 1 } (P_2)\quad\begin{aligned} &\max 6+ 8x_1+11x_2+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+3x_4\le 10\\ &\qquad x_1,x_2,x_3\in \{0,1\} \end{aligned} (P2)max6+8x1+11x2+4x4s.t. 5x1+7x2+3x410x1,x2,x3{0,1}

子问题 ( P 1 ) (P_1) (P1) 的线性规划松弛的最优解为 ( 1 , 1 , 2 3 ) T (1,1,\cfrac{2}{3})^T (1,1,32)T,对应的上界为 z = 21.67 z=21.67 z=21.67。子问题 ( P 2 ) (P_2) (P2)的线性规划松驰的最优解为 ( 1 , 5 7 , 0 ) T (1,\cfrac{5}{7},0)^T (1,75,0)T,对应的上界为 z = 21.86 z=21.86 z=21.86。分枝过程见图7.1.

选择子问题 ( P 2 ) (P_2) (P2),选择变量 x 2 x_2 x2 进行分枝,固定 x 2 = 0 x_2=0 x2=0 x 2 = 1 x_2=1 x2=1 ,得到2个子问题:
( P 3 ) max ⁡ 6 + 8 x 1 + 4 x 4 s.t.  5 x 1 + 3 x 4 ≤ 10 x 1 , x 4 ∈ { 0 , 1 } (P_3)\quad\begin{aligned} &\max 6+8x_1+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+3x_4\le 10\\ &\qquad x_1,x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P3)max6+8x1+4x4s.t. 5x1+3x410x1,x4{0,1}

( P 4 ) max ⁡ 17 + 8 x 1 + 4 x 4 s.t.  5 x 1 + 3 x 4 ≤ 3 x 1 , x 4 ∈ { 0 , 1 } (P_4)\quad\begin{aligned} &\max 17+8x_1+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+3x_4\le 3\\ &\qquad x_1,x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P4)max17+8x1+4x4s.t. 5x1+3x43x1,x4{0,1}

子问题 ( P 3 ) (P_3) (P3) 的最优解为 ( 1 , 1 ) T (1,1)^T (1,1)T,对应原问题的一个可行解 x = ( 1 , 0 , 1 , 1 ) T x=(1,0,1,1)^T x=(1,0,1,1)T,目标函数值为 z = 18 z=18 z=18。子问题 ( P 4 ) (P_4) (P4) 的线性规划松弛的最优解为 ( 1 , 3 5 ) T (1,\cfrac{3}{5})^T (1,53)T,对应的上界为 z = 21.80 z=21.80 z=21.80,分支过程见图7.2。

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选择子问题 ( P 4 ) (P_4) (P4) 并对 x 1 x_1 x1 进行分枝,固定 x 1 = 0 x_1=0 x1=0 x 1 = 1 x_1=1 x1=1得到2个子问题:
( P 5 ) max ⁡ 17 + 4 x 4 s.t.  3 x 4 ≤ 3 x 4 ∈ { 0 , 1 } (P_5)\quad\begin{aligned} &\max 17+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 3x_4\le 3\\ &\qquad x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P5)max17+4x4s.t. 3x43x4{0,1}

( P 6 ) max ⁡ 25 + 4 x 4 s.t.  3 x 4 ≤ − 2 x 4 ∈ { 0 , 1 } (P_6)\quad\begin{aligned} &\max 25+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 3x_4\le -2\\ &\qquad x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P6)max25+4x4s.t. 3x42x4{0,1}

易见,子问题 ( P 5 ) (P_5) (P5) 的最优解为 x 4 = 1 x_4=1 x4=1,对应原问题的一个可行解 x = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T x=(1,1,0,1)^T x=(1,1,0,1)T,其目标函数值为 z = 21 z=21 z=21 。而子问题 ( P 6 ) (P_6) (P6) 不可行。分枝过程见图7.3。因为节点1对应的
子问题 ( P 1 ) (P_1) (P1) 的上界为21.67且原问题的最优值为整数,故子问题 ( P 1 ) (P_1) (P1) 不可能产生
x = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T x=(1,1,0,1)^T x=(1,1,0,1)T更好的可行解。从而推断出所有 { 0 , 1 } 4 \{0,1\}^4 {0,1}4 中没有比 x = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T x=(1,1,0,1)^T x=(1,1,0,1)T
更好的可行解,故 x = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T x=(1,1,0,1)^T x=(1,1,0,1)T 是原问题的最优解。

由上述例子可以看出,分枝定界过程中产生的子问题之间的关系是一树状结构,以后称之为分枝定界树或搜索树。分枝定界求解0-1背包问题的基本思想可以总结如下:

算法7.1(0-1背包问题分枝定界算法)

初始步.求解原问题的线性规划松弛,若得到整数解则也是原问题的最优解,否则得到原问题的一个上界.

  • 分枝:选择适当的变量 x i x_i xi,分别固定 x i = 0 x_i=0 xi=0 x i = 1 x_i=1 xi=1 得到2个子问题。
  • 定界:选择一个子问题,求解该子问题的线性规划松弛。
  • 剪枝:若发生下列情况之一,则可停止对该子问题进行分枝(剪枝):
    • 子问题的线性规划松弛的最优解是整数解;
    • 子问题不可行;
    • 子问题的上界等于或小于已知的可行解的目标函数值。

最优性.重复上述过程直到分枝定界树中没有需要考虑的节点(子问题),当前最好的可行解就是原问题的最优解。

7.3 分支定界方法:一般线性整数规划

本节讨论下列一般线性整数规划问题:
(IP) min ⁡ c T x , s . t .   A x ≤ b , x ∈ Z + n \text{(IP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in \Z_+^n \end{aligned} (IP)mincTx,s.t. Axb,xZ+n
S = { x ∈ Z + m ∣ A x ≤ b } S=\{x\in \Z_+^m|Ax\le b\} S={xZ+mAxb}。求解0-1背包问题的算法7.1可以推广到一般整数规划问题,只要使用适当方法把子问题的可行域剖分为若干个小的子集,一般是把可行域分成2个部分,从而可以产生类似于0-1背包问题的分枝定界树。设子问题的线性规划松弛解为 x 0 = ( x 1 0 , . . . , x n 0 ) T x^0=(x_1^0,...,x_n^0)^T x0=(x10,...,xn0)T,其中至少有一个 x i 0 x_i^0 xi0 是分数。假设选取变量进行分枝,一种自然的剖分方法是分别设
x i ≤ ⌊ x i 0 ⌋ , x i ≥ ⌊ x i 0 ⌋ + 1 x_i\le \left\lfloor x_i^0 \right\rfloor ,x_i\ge \left\lfloor x_i^0 \right\rfloor+1 xixi0,xixi0+1
⌊ ⌋ \left\lfloor \right\rfloor 表示取下整。则得到2个新的节点(子问题),如图7.4所示。显然,上述对整数规划可行域的剖分并不会丢失任何整数可行点。

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选择分枝变量的基本策略是使分枝后的2个子问题的线性规划松弛界与当前问题的界之间的差别尽可能大,这样就有可能尽早进行剪枝。常用的方法是选取
i = arg ⁡ max ⁡ { min ⁡ ( x j 0 − ⌊ x j 0 ⌋ , ⌈ x j 0 ⌉ − x j 0 )   ∣   x j 0 为分数 } i=\arg \max\{\min(x_j^0-\lfloor x_j^0 \rfloor ,\lceil x_j^0 \rceil -x_j^0)\ |\ x_j^0为分数\} i=argmax{min(xj0xj0,xj0xj0)  xj0为分数}
在分枝定界过程中,在剪枝后如何从搜索树中剩下的节点(子问题)中选择一个节点继续进行分枝也将影响整个分枝定界的收敛速度。常用的策略有

  • 下界优先:总是选择下界最小的节点进行分枝,这里的下界可以是线性规划松弛界,或者是指该节点继承其父节点的下界
  • 深度优先:把分枝定界树的层数(已分枝变量的个数)定义为节点的深度,深度优先策略是选择具有最大深度的节点进行分枝,从而能比较快地找到可行解。

例7.2 考虑下列线性整数规划问题:
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该问题的线性规划松弛的最优单纯形表见表7.1,故线性规划松弛的最优解为 x = ( 20 7 , 3 ) T x=\left(\cfrac{20}{7},3\right)^T x=(720,3)T,问题的下界为 z = − 59 7 z=-\cfrac{59}{7} z=759。选择 x 1 x_1 x1 进行分枝,分别加入约束 x 1 ≤ 2 x_1\le2 x12 x 1 ≥ 3 x_1\ge 3 x13 得到两个子问题,如图7.5。选择节点1,其对应的线性规划是节点0的线性规划加上约束 x 1 ≤ 2 x_1\le 2 x12,其可以表示为 x 1 + s = 2 , s ≥ 0 x_1+s=2,s\ge0 x1+s=2,s0,在表7.1中, x 1 x_1 x1 是基变量,可以用非基变量 x 3 x_3 x3 x 4 x_4 x4 表示,所以约束 x 1 ≤ 2 x_1\le 2 x12 可以表示为:
− 1 7 x 3 − 2 7 x 4 + s = − 6 7 -\frac{1}{7}x_3-\frac{2}{7}x_4+s=-\frac{6}{7} 71x372x4+s=76
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将上述约束加入表7.1,可得单纯形表7.2。易见,以 ( x 1 , x 2 , x 5 , s ) (x_1,x_2,x_5,s) (x1,x2,x5,s) 为基变量的解对偶可行。经过 2 次对偶单纯形迭代,可得到最优单纯形表7.3。故节点1对应的线性规划最优解为 x = ( 2 , 1 2 ) x=\left(2,\cfrac{1}{2}\right) x=(2,21) ,最优值为 z = − 15 2 z=-\cfrac{15}{2} z=215 。选择分数变量 x 2 x_2 x2 进行分枝,加入约束 x 2 ≤ 0 x_2≤0 x20 x 2 ≥ 1 x_2≥1 x21 得到2个子问题,见图7.6。应用深度优先选择节点3,其对应的线性规划的最优解为 x = ( 3 2 , 0 ) T x=(\cfrac{3}{2},0)^T x=(23,0)T,最优值为 z = − 6 z=-6 z=6 ,继续选择节点4其对应的线性规划具有整数最优解 x = ( 2 , 1 ) T x=(2,1)^T x=(2,1)T ,最优值为 − 7 -7 7
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故节点3和4可以去除(剪枝),只剩下节点2需要考虑。把约束 x 1 ≥ 3 x_1≥3 x13 写为 x 1 − t = 3 , t ≥ 0 x_1-t=3,t≥0 x1t=3,t0。类似地,可以把这个约束用表7.1中的非基变量 x 3 x_3 x3 x 4 x_4 x4 表示:
1 7 x 3 + 2 7 x 4 + t = − 1 7 \frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4+t=-\frac{1}{7} 71x3+72x4+t=71
把该约束加入单纯形表7.1得表7.4。容易看出,该线性规划不可行.故分枝定界树里已经没有节点需要考虑,当前最好的可行解 x = ( 2 , 1 ) T x=(2,1)^T x=(2,1)T 就是原问题的最优解,见图7.7.
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7.4 一般分支定界方法

考虑如下非线性整数规划问题:
(P) min ⁡ f ( x ) , s.t.  g i ( x ) ≤ b i , i = 1 , . . . , m , h k ( x ) = c k , k , . . . , l , x ∈ X \text{(P)}\qquad\begin{aligned} &\min f(x),\\ & \text{s.t.} \ g_i(x)\le b_i,\quad i=1,...,m,\\ & \qquad h_k(x)=c_k ,\quad k,...,l,\\ &\qquad x\in X \end{aligned} (P)minf(x),s.t. gi(x)bi,i=1,...,m,hk(x)=ck,k,...,l,xX
其中 f f f g i g_i gi h k h_k hk R n \R^n Rn 中的实值函数, X ∈ Z n X\in \Z^n XZn 是一个整数集合。

为了应用分枝定界的基本框架,需要

  • 对§的子问题定界的方法,如凸整数规划问题的连续松弛、线性下逼近方法可分离整数规划的拉格朗日松弛和二次0-1规划的半定规划(SDP)松弛;
  • 求可行解的启发式方法,如贪婪法和根据问题的特殊结构设计的求可行解程序。

以下记 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 为§的一个子问题,其中 X i X_i Xi X X X 剖分后的子集,用 L L L 记分枝定界树中存储的节点(子问题)集合。一般分枝定界的基本框架可以描述如下:

  • 步0(初始步):令 L = P ( X ) L={P(X)} L=P(X) ,利用启发式算法求得问题的一个初始可行点 x ∗ , v ∗ = f ( x ∗ ) x^*,v^*=f(x^*) x,v=f(x)。若无初始可行解则令 v ∗ = + ∞ v^*=+∞ v=+.
  • 步1(选择节点):若 L = ∅ L=\empty L=,停止, x ∗ x^* x 是原问题的最优解。否则,从L中选择一个或多个节点,记为 L s = { P ( X 1 ) , ⋯ , P ( X k ) } L^s=\{P(X_1),\cdots,P(X_k)\} Ls={P(X1),P(Xk)}。令 i = 1 i=1 i=1
  • 步2(定界):计算子问题 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 的下界 L B i LB_i LBi 。如果 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 不可行,则记 L B i = + ∞ LB_i=+∞ LBi=+。若 L B i ≥ v ∗ LB_i\ge v^* LBiv,转步5。若 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 的松弛问题的最优解 x ~ \tilde{x} x~ 是整数解,若 x ~ \tilde{x} x~ 是比当前最好的可行解 x ∗ x^* x 更好的解,更新 x ∗ x^* x,转步5。否则转步3。
  • 步3(可行解):利用启发式算法寻找可行解,若有则更新当前最好的可行解 x ∗ x^* x
    和上界 v ∗ v^* v。若 i < k ii<k ,令 i : = i + 1 i:=i+1 i:=i+1,回到步2,否则转步4。
  • 步4(分枝):如果 L s = ∅ L^s=\empty Ls=,转步1,否则,从 L s L^s Ls 选择节点 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 。剖分 X i X_i Xi
    为若干子集 L i s = { X i 1 , ⋯   , X i p } L_i^s=\{X_i^1,\cdots,X_i^p\} Lis={Xi1,,Xip} 并在 L s L^s Ls 中用 L i s L^s_i Lis 对应的子问题替换 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi))。令
    L : = L ∪ L s L:=L\cup L^s L:=LLs。转步1。
  • 步5(剪枝):从 L s L^s Ls 中删除 ( P ( X i ) ) (P(X_i)) (P(Xi)) 。若 i < k ii<k ,令 i : = i + 1 i:=i+1 i:=i+1,回到步2,否则转步4。

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上述分枝定界算法是概念性的,其算法效率取决于子问题的下界 L B i LB_i LBi 的质量和下界计算方法的效率。另一方面,算法的收敛速度与是否可以快速产生可行解也密切相关。在后面的章节中将介绍一些非线性整数规划的定界方法,如连续松弛和拉格朗日松弛等。

参考文献

  1. 整数规划 孙小玲,李瑞 北京,科学出版社 2010

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