C/C++数论/数学算法总结(关于数学知识以及一些比较重要的算法)
总结C/C++关于数学知识以及一些比较重要的算法
1.数论
整数型问题:整除、最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法、扩展欧几里得算法.
素数问题:素数判断、区间素数统计.
同余问题:模运算、同于方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理.
不定方程.
乘性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演.
2.组合数学
排列组合:技术原理、特殊排列、排列生成、组合生成.
母函数:普通型、指数型.
递推关系:斐波那契数列、Stirling数、Catalan数.
容斥原理、鸽巢原理
群:Polya定理
线性规划:单纯行法.
3.矩阵、线性代数、高精度计算、概率、数学期望、组合游戏、傅里叶变换、费马小定理、费马大定理.
大数加法
大数a+b也就是用字符串输入一串数字代表这个数字的大小，然后模拟一下加法的过程就可以了，为了方便计算把最低位个位放到第一个逆序计算比较方便
int a[1010],b[1010],c[1010],l1,l2,i,j,n,t,x,y=1;
char s1[1010],s2[1010];
scanf("%s %s",s1,s2);
l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);//计算长度
//初始化数组abc全为0
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
memset(c,0,sizeof(c));
//把字符串s1 s2逆置存入数组a,b，逆序存方便计算
//就是把个位放到第一位依次往后递推
for(i=l1-1,j=0;i>=0;i--){
a[j++]=s1[i]-'0';
}
for(i=l2-1,j=0;i>=0;i--){
b[j++]=s2[i]-'0';
}
//这里计算a,b的每一位存入c
//这里应该就明白为什么把数组abc都初始化为0了把
//方便计算a+b就算长度不相等也可以利用0弥补，可以模拟一下加法过程。
//这也就是逆序存储的方便计算，后面加0不影响大小
for(i=0;i<1005;i++){
x=a[i]+b[i]+c[i];//如果进位了这里c[i]=1不进位就是0.
c[i]=x%10;//取余
c[i+1]=x/10;//进位
}
//找到第一个非0数就是最高位数，可以自己思考一下为什么
for(i=1005;i>=0;i--)
if(c[i]!=0)
break;
if(i==-1)
printf("0");
//输出计算结果
for(;i>=0;i--)
printf("%d",c[i]);
printf("\n");
大数减法
同大数加法模拟减法过程即可.
这个代码参考大数加法可以写一下.
大数乘法
N的阶乘问题代码:
int i,j,k,s,l=0,n;
scanf("%d",&n);
a[0]=1;
//计算出前n个数的乘积，简单暴力。
for(i=1;i<=n;i++)
{
int x=0,y=0;
for(j=0;j<10000;j++)
{
x=a[j]*i+y;
y=x/10;
a[j]=x%10;
}
}
for(i=0;;i++)//循环遍历第一个不为0的数就是计算出来的末尾不为0的第一个数！
{
if(a[i]!=0)
{
printf("%d\n",a[i]);
break;
}
}
参考链接:质数乘积（大数乘法+埃氏筛法）
模拟乘法过程注意进位
char aa[50],bb[50];
int s[100]={0},i,j,f=0,k,l1,l2,x,y,z,a[50],b[50];
scanf("%s%s",aa,bb);
l1=strlen(aa),l2=strlen(bb);
for(i=l1-1,j=0;i>=0;i--)
a[j++]=aa[i]-'0';
for(i=l2-1,j=0;i>=0;i--)
b[j++]=bb[i]-'0';
for(i=0;i<l2;i++)
{
f=0;
k=i;x=0,y=0;
for(j=0;j<l1;j++)
{
x=y+a[j]*b[i]+s[k];
y=x/10;
s[k]=x%10;
k++;
}
if(y!=0)
f=1,s[k]=y;
}
for(i=k+f-1;i>=0;i--)
printf("%d",s[i]);
printf("\n");
大数除法
这个太难,一般都是直接打模板.
大数取模
== 会大数除法自然会取模了==
最大公约数
记住这个函数即可__gcd(x,y)
x=1000,y=88888;
cout<<__gcd(x,y)<<endl;//结果是8
最小公倍数
两个数相乘除以最大公约数即可
x=1000,y=88888;
cout<<x*y/__gcd(x,y)<<endl;//结果是11111000
欧几里得算法
gcd( m , n ) = gcd( n = m % n)
直到最后gcd(m , 0)=m,m最后的取值也就是m和n的最大公约数。
用于计算欧几里得算法gcd(m,n)
第一步：如果n=0，返回值m则作为结果。通过计算过程结束，否则进入第二步。
第二步：m除以n，将余数赋值给R；
第三步：将n的值赋给m，将r的值赋值给n。返回第一步
自己敲一下代码吧.
扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x和y，使它们满足等式： ax+by =?gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。即对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x和y，使得 gcd(a，b)=ax+by。
扩展欧几里得算法，精髓在于对x和y的赋值。对于a’ = b,b’ = a % b 而言，我们求得 x,y使得 a’x + b’y = Gcd(a’,b’)由于b’ = a% b = a - a / b * b 那么可以得到:a’x + b’y= Gcd(a’,b’) ，因而bx + (a - a / b * b)，y = Gcd(a’,b’) = Gcd(a,b)进而可得ay +b(x - a / by) = Gcd(a,b)因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是y和(x-a/by).
素数判定和区间素数统计
埃氏筛法:
//标记10000以内的素数
for(i=0;i<=10000;i++)
b[i]=1;//先把所有数标位1
for(i=2;i<=100;i++)//前100的质数就能筛出来所有质数了
{
if(b[i])//如果b[i]==1则就是素数
{
for(j=i+i;j<=10000;j=j+i)//埃氏筛法，所有是i的倍数全部不是素数，标记为0
b[j]=0;//标记所有不是质数的数
}
}
模运算
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a – b) % p = (a % p – b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
重要定理：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a – c) ≡ (b – d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p);
除法取模
设k为b的逆元
(a/b)%m=(ak)%m (自证)
快速幂
假设求a^b%m
首先我们可以参考上面的取模运算
a^b%m = (a%m)^b%m
所以我们运算的时候一直对底数a取余即可
快速幂过程:
即当b为偶数: a^( (b/2)*2 ) 即(a2)b/2
这个时候幂数就会除以2了,达到了我们想要的快速效果.
当b不为偶数:可化为:a×a^b-1这个时候b-1一定是偶数哦!!!
上代码!!!
int f(long long a,long long b)
{
a=a%m;
long long s=1;
while(b>0)
{
if(b%2==1)//指数为奇数时
s=(s*a)%c;//单独×一个底数
//这个地方当b为奇数时 b/2和(b-1)/2结果一样
b=b/2;//指数变为原来的1/2
b=(b*b)%h;//底数扩大原来的平方
}
return s;
}
参考题目链接:越狱（快速幂）
容斥原理
容斥原理是一种重要的组合数学方法，可以让你求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。
举个例子:比如 100以内能被2,3,5整除的数有多少
能被2整除 100/2=50
能被3整除 100/3=33
能被5整除 100/5=20
这里一共用50+33+20=103个 你会发现他有重复计算的 比如 10既能整除2又能整除5所以计算了两次 而30能整除他们三个
能被2,3整除 100/(23)=16
能被2,5整除(100)/(25)=10
能被3,5整除100/(35)=6
能被2,3,5整除的100/(23*5)=3
根据容斥原理 最后就得:103-(16+10+6-3)=74
Catalan数(卡特兰数)
前20项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190
费马小定理：
内容：
若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。(这里的 ≡ 指的是恒等于，a^(p-1)≡ 1(mod p)是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)（不理解的话请留言）
证明：
这里证明较为复杂需要先引出两个定理：
引理一：
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数，且(m,c)=1，则当a·c≡b·c(mod m)时，有a≡b(mod m)。
证明：a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m)。因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理二：
设m是一个整数且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系，则b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也构成模m的一个完全剩余系。
证明:若存在2个整数b·a[i]和b·a[j]同余即b·a[i]≡b·a[j](mod m)…(i>=1 && j>=1)，根据引理1则有a[i]≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义可知这是不可能的，因此不存在2个整数b·a[i]和b·a[j]同余。
所以b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]构成模m的一个完全剩余系。
构造素数 的完全剩余系
p={1,2,3,…,p-1}.
因为 ，由引理2可得
A={a,2a,3a,…,(p-1)a}.
也是p的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质，
123*…(p-1)≡a2a3a…*(p-1)a(modp).
即
(p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1)(modp)
易知 ((p-1)!,p)=1，同余式两边可约去(p-1)!，得到
a^(p-1)≡1(modp)
这样就证明了费马小定理。
上述证明摘自百度百科
参考链接:JAVA大数运算–加减乘除取余