（统计学习方法|李航）第一章统计学习方法概论——四五六节模型评估与模型选择，正则化与交叉验证，泛化能力

一，模型评估与模型选择

1.训练误差与测试误差

 假如我们有100个数据。80条记录给训练集，10条记录给测试集，10条记录给验证集

先在训练集中训练模型，

再在验证集上测试看哪种模型更拟合

最后用测试集算出成绩

 表示决策函数

 模型拟合的好坏（对已知数据的预测效果）我们可以通过训练集测出训练误差来衡量

对未知数据预测效果好坏可以利用测试集来衡量

•  预测值和真实值不相等的个数占测试集样本总个数的比例

 

• 经过模型的预测值和真实值相等的占样本点的个数。

 

2.过拟合与模型选择

在多项式拟合问题中 ：
就很好的解释了过拟合问题，我们想要去拟合一个正弦函数

我们去选择正弦函数上的点去拟合

当图像是三次函数时，拟合效果是非常不错的，但是为了抓住图像中的每一个细节

（哪怕噪音也不放过，就容易出现过拟合问题）

• 我们使用的是经验风险最小化的策略
• 经验风险使用的损失函数是平方损失

要求出最小值就需要求导，这里的二分之一只是为了抵消平方

那么如何去看是否过拟合呢？

• 他在训练集上拟合效果特别好（每个点集都在图像上）
• 但是在测试集和验证集上特别差

就是过拟合了！！!

当M=9,训练误差极大，但测试误差极大

二，正则化与交叉验证

 

1.正则化

 最小化结构风险中跟的就是正则项

目的：减少模型的复杂度，防止过拟合的

 正则化项有两种形式：

• L1范数和L2范数
• w这里叫作参数

这里谈一个奥姆卡剃刀原理：

• 我们发现当模型复杂度大于等于3的时候，训练集都能很好的拟合，、
• 则选择最简单的模型 

2.交叉验证

 

（1）简单交叉验证

 

（2）S折交叉验证

我们只有100个数据，一开始选择这80个数据作为训练集，剩下的是测试集和验证集

后来再随机选出80个，

选出来10种训练集进行模型训练。

                选择不同的测试集去训练模型 

（3）留一交叉验证

数据非常缺乏的情况下：

                 此时的N为数据的容量

三，泛化能力

1.泛化误差

• 泛化误差R（f）
• 就是对损失函数值loss求出其数学期望
• 泛化误差反映了学习方法的泛化能力，即所学习到的模型的期望风险。

f-hat(X)为预测值

这里我们之前学的策略里的损失函数的期望值

我们下面给出的红豆绿豆的实例

 

 下面这个是经验风险。

2.泛化误差上界

 

 

函数f是从假设空间F中抽取出来的 

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 那么这个泛化误差R（f）（期望风险）是有上界的。

• d代表的是假设空间中函数的个数
• N表示训练集中样本的个数
• 德尔塔则是概率

regulation

（1）当N->无穷大，样本容量增大，那么泛化误差上界就是趋向于0的。

（2）d越大，假设空间越来越复杂，那么泛化误差上界也会增大。

公式推导：

 首先我们直到有以下

hoeffding不等式成立：

SN为随机变量求和

即可得：