【每日一题】力扣222 完全二叉树的节点个数

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题目

题目链接：力扣222.完全二叉树的节点个数

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^h 个节点。

示例 1：

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2：

输入：root = []
输出：0

示例 3：

输入：root = [1]
输出：1

提示：

• 树中节点的数目范围是[0, 5 * 10⁴]
• 0 <= Node.val <= 5 * 10⁴
• 题目数据保证输入的树是完全二叉树

进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

解题思路

这题主要想讲的是完全二叉树的性质，因为有一届的蓝桥的一题就是因为我把完全二叉树当成了满二叉树，让我那题没过。完全二叉树和满二叉树不一样的是，完全二叉树最后一层可以不是满的。

递归(遍历)

遍历的方法是最简单的，这种方法我应该不用说了，递归也好，迭代也好都可以，我就给一个最简单的代码吧。

本来不打算写题解的方法，但好像就没有什么讲的了，还是讲一下题解方法吧。

二分+位运算

这种方法需要用完全二叉树的性质，一个完全二叉树的节点数的范围是 [2^h, 2^h+1 - 1] ，其中 h 是树的深度。所以可以从这个范围里用二分查找判断树的节点个数具体是多少，再用二进制数依次表示这个范围内的每个节点，用这个二进制数和二叉树的节点做对比，缩小范围。

本题用到的位运算有：

• 与(&)：把数字转换成二进制，每位数字做与运算，即同为 1 才为 1
• 左移(<<)：把符号左边数字转换为二进制，所有数字向左移动 n 位（右边数字），右边空出来的补 0 或者说左边的数字乘以 2ⁿ
• 右移(>>)：和左移相反，补 1

具体可以看代码，就是二分查找加位运算

代码（C++）

递归

class Solution {
public:
    int f;
    void dfs(TreeNode *root) {
        if (!root)
            return ;
        f ++;
        dfs(root->left);
        dfs(root->right);
    }
    int countNodes(TreeNode* root) {
        dfs(root);
        return f;
    }
};

二分查找

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }
        int level = 0;
        TreeNode* node = root;
        while (node->left != nullptr) {
            level++;
            node = node->left;
        }
        int low = 1 << level, high = (1 << (level + 1)) - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low + 1) / 2 + low;
            if (exists(root, level, mid)) {
                low = mid;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return low;
    }

    bool exists(TreeNode* root, int level, int k) {
        int bits = 1 << (level - 1);
        TreeNode* node = root;
        while (node != nullptr && bits > 0) {
            if (!(bits & k)) {
                node = node->left;
            } else {
                node = node->right;
            }
            bits >>= 1;
        }
        return node != nullptr;
    }
};

总结

这题用递归写真的没话说了，明显题目不是想考这个。用二分和位运算写真的有难度，通常的思维都是用二分查找的，很少用到判断上的。位运算在做题上确实快一点，但位运算不适用于项目上，因为难以理解，不好维护。这题第二种方法还是有必要要掌握的。