数据结构——时间复杂度和空间复杂度

1.算法效率
2.时间复杂度
3.空间复杂度
4. 常见时间复杂度以及复杂度oj练习

1.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数的计算

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

我们看到虽然用递归的方式实现斐波那契很简单，但是简单一定代表效率高吗？
我们接着往下看。
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算
机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.3 复杂度在校招中的考察

我们可以看到在校招笔试的时候可能会遇到一些问题，就是它限制了时间和空间的复杂度，这无疑是加大了难度，所以我们现要了解什么是时间和空间复杂度，这样才能去写这道题。
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}

通过我们的精确计算，count总共经过了N^2+2*N+M.
Func1 执行的基本操作次数 ：
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

所以当N特别大的时候后面可以忽略掉。
所以上面的代码的时间复杂度是O（N^2）.

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这
里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为O(N^2).
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

这个count的准确次数是2*N+M
所以写成大O是O（N）。

2

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

这里就要看前提是什么，如果不知道M和N的话，我们就可以写成O（M+N），如果M和N一样的话，可以写成O（N），如果N比M大的多，就可以写成O（N），反之则为O（M）。

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

常数项其实就是O（1）因为我们的计算机的运行速度特别快，每秒十几亿的速度，所以常数项都可以写成O（1）.

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

意思就是找一个字符，有就返回字符位置，没有就返回空指针，所以这肯定要遍历一遍我们的字符串，所以是O（N）。

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

冒泡排序我们写的第一个是它的趟数，然后进行前后进行比较，如果有n个数，那第一次要比较的是n-1次，接下来，比如我们是升序的话，最后一个数就排好了，并且是最大的一个数，所以第二次就可以忽略最后一个数的比较，接下来就是n-2，这样下去一直到1，所以将他们相加，是（N^2-N）/2,当N无穷大的时候，所以大O就可以写成O（N*N）.最快只需要n-1次就可以了

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

我们的二分查找时间复杂度可快了，是效率非常高的一个排序。
它的算法时间复杂度是O（log2N）,可以写成logN，底数是2.
为什么说他快呢，举个例子，比如我们要在14亿人中要找出有个人，最坏情况只要31次，第一次直接去掉了7亿人，第二次又是一半，所以效率快。

//计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

其实它递归了N次，那就很简单，就是O（N）。

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^{N次，时间复杂度为O(2}N)，因为我们第一次是2的1次，后面就是2的2次，一直到2的n次，相加就可写成O（2^N）,所以递归并不是效率特别高的算法有时候，但是它简洁。

今天的分享就到这里，我们下次再见