算法训练Day49 | Leetcode121. 买卖股票的最佳时机（只能买卖一次）；LeetCode122. 买卖股票的最佳时机II（可以买卖多次）
目录
Leetcode121. 买卖股票的最佳时机
方法一：暴力解法
1. 思路
2. 代码实现
3. 复杂度分析
4. 思考与收获
方法二：贪心算法
1. 思路
2. 代码实现
3. 复杂度分析
方法三：动态规划
1. 思路
2. 代码实现
3. 复杂度分析
4. 思考与收获
LeetCode122. 买卖股票的最佳时机II
1. 思路
2. 代码实现
3. 复杂度分析
4. 思考与收获
Leetcode121. 买卖股票的最佳时机
链接：121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）
方法一：暴力解法
1. 思路
因为只能买一次，卖一次，所以这道题目最直观的想法就是暴力找最优间距，外层for loop从头到尾遍历元素，内层for loop从i之后遍历元素；
2. 代码实现
# 方法一：暴力解法
# time：O(N^2);space:O(1)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
result = 0
for i in range(len(prices)-1):
for j in range(i+1,len(prices)):
result = max(result,prices[j]-prices[i])
return result
3. 复杂度分析
-
时间复杂度：O(N^2)
其中，N为prices数组的长度；两层for loop的时间复杂度为O(N^2)；
-
空间复杂度：O(1）
只有result一个变量储存，为常数级的空间复杂度
4. 思考与收获
- 此方法在LeetCode提交中超时了；
方法二：贪心算法
1. 思路
因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。
2. 代码实现
# 方法二：贪心做法
# time:O(n);space:O(1)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
low = float("inf")
result = 0
for i in range(len(prices)):
low = min(low,prices[i]) # [0,i]位置的最小值
result = max(result,prices[i]-low) # 目前可以得到的最大利润
return result
3. 复杂度分析
-
时间复杂度：O(N)
其中N为prices的长度；需要遍历一遍整个数组，因此复杂度为O(N）；
-
空间复杂度：O(1)
只有两个变量储存信息，分别是low和result，常数级的空间复杂度；
方法三：动态规划
1. 思路
动规五部曲分析如下：
1.1 确定dp数组及下标的含义
-
dp[i][0]
dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数；
-
dp[i][1]
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金，注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态，很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚，在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。
1.2 确定递推公式
- 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
- 如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0])；
1.3 dp数组如何初始化
由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来；
- 那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] = - prices[0];
- dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0；
1.4 确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历；
1.5 举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下
dp[5][1]就是最终结果。为什么不是dp[5][0]呢？因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
2. 代码实现
# 动态规划 写法一
# time:O(N);space:O(N)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
# dp定义：
# dp[i][0] 第i天持有股票所得最多的现金
# dp[i][1] 第i天不持有股票所得最多的现金
# 初始化
dp = [[0]*2 for _ in range(len(prices))]
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
# 遍历
for i in range(1,len(prices)):
# 递推公式
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],-prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i])
return dp[len(prices)-1][1]
从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态；那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间；
# 动态规划写法二 状态压缩
# time：O(N);space:O(1)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
# dp定义：
# dp[i][0] 第i天持有股票所得最多的现金
# dp[i][1] 第i天不持有股票所得最多的现金
# 初始化
dp = [[0,0],[0,0]]
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
# 遍历
for i in range(1,len(prices)):
# 递推公式
dp[i%2][0] = max(dp[(i-1)%2][0],-prices[i])
dp[i%2][1] = max(dp[(i-1)%2][1],dp[(i-1)%2][0]+prices[i])
return dp[(len(prices)-1)%2][1]
3. 复杂度分析
动态规划写法一
-
时间复杂度：O(N）
其中N为prices数组的长度；需要遍历整个prices数组一遍；
-
空间复杂度：O(N）
其中N为prices数组的长度；Dp为2*N的数组，需要空间也为O(N）级别；
动态规划写法二
-
时间复杂度：O(N)
其中N为prices数组的长度；需要遍历整个prices数组一遍；
-
空间复杂度：O(1）
只需要维护一个2*2大小的数组即可；
4. 思考与收获
- 这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug；所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二；
Reference：代码随想录 (programmercarl.com)
本题学习时间：60分钟。
LeetCode122. 买卖股票的最佳时机II
链接：122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）
1. 思路
本题和121. 买卖股票的最佳时机 的唯一区别本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）；在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机 一样一样的；所以我们重点讲一讲递推公式。
这里重申一下dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况：在121. 买卖股票的最佳时机 中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]；而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润；那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
注意这里和 121. 买卖股票的最佳时机 就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！
2. 代码实现
# 动态规划写法一
# time:O(N);space:O(N)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
# dp定义
# dp[i][0] 第i天 持有股票所得最多现金
# dp[i][1] 第i天 不持有股票所得最多现金
# 初始化
length = len(prices)
dp = [[0]*2 for _ in range(length)]
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
# 遍历
for i in range(1,length):
# 递推公式，和LeetCode121唯一不同之处
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i])
return dp[length-1][1]
同样也有滚动数组的版本：
# 动态规划写法二 状态压缩
# time:O(N);space:O(1)
class Solution(object):
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
# dp定义
# dp[i][0] 第i天 持有股票所得最多现金
# dp[i][1] 第i天 不持有股票所得最多现金
length = len(prices)
dp = [[0]*2 for _ in range(2)]
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
# 遍历
for i in range(1,length):
# 递推公式
dp[i%2][0] = max(dp[(i-1)%2][0],dp[(i-1)%2][1]-prices[i])
dp[i%2][1] = max(dp[(i-1)%2][1],dp[(i-1)%2][0]+prices[i])
return dp[(length-1)%2][1]
3. 复杂度分析
动态规划写法一
-
时间复杂度：O(N）
其中N为prices数组的长度；需要遍历整个prices数组一遍；
-
空间复杂度：O(N）
其中N为prices数组的长度；Dp为2*N的数组，需要空间也为O(N）级别；
动态规划写法二
-
时间复杂度：O(N)
其中N为prices数组的长度；需要遍历整个prices数组一遍；
-
空间复杂度：O(1）
只需要维护一个2*2大小的数组即可；
4. 思考与收获
-
本题和121. 买卖股票的最佳时机 的代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]；想到到这一点，对这两道题理解的比较深刻了。
Reference：代码随想录 (programmercarl.com)
本题学习时间：30分钟。
本篇学习时间为1.5小时，总结字数5000+；是动态规划中一个新的专题叫做股票问题，本篇讲了只能买卖一次的情况和可以买卖多次的情况，两种只有递推公式不一样。（求推荐！）