2023华数杯数学建模A题

隔热材料的结构优化控制研究

        新型隔热材料 A 具有优良的隔热特性,在航天、军工、石化、建筑、交通等 高科技领域中有着广泛的应用。

        目前,由单根隔热材料 A 纤维编织成的织物,其热导率可以直接测出;但是单根隔热材料 A 纤维的热导率(本题实验环境下可假定其为定值),因其直径过小,长径比(长度与直径的比值)较大,无法直接测量。单根纤维导热性能是织 物导热性能的基础,也是建立基于纤维的各种织物导热模型的基础。建立一个单根隔热材料 A 纤维的热导率与织物整体热导率的传热机理模型成为研究重点。该模型不仅能得到单根隔热材料 A 纤维的热导率,解决当前单根 A 纤维热导率无法测量的技术难题;而且在建立的单根隔热材料 A 纤维热导率与织物热导率的关系模型的基础上,调控织物的编织结构,进行优化设计,能制作出更好的满足在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域需求的优异隔热性能织物。

        织物是由大量单根纤维堆叠交织在一起形成的网状结构,本题只研究平纹织物,如图 1 和图 2 所示。不同直径纤维制成的织物,其基础结构参数不同,即纤维弯曲角度、织物厚度、经密、纬密等不同,从而影响织物的导热性能。本题, 假设任意单根 A 纤维的垂直切面为圆形,织物中每根纤维始终为一个有弯曲的圆柱。经纱、纬纱弯曲角度10°<θ≤26.565°

2023华数杯数学建模A题_第1张图片

2023华数杯数学建模A题_第2张图片

         热导率是纤维和织物物理性质中最重要的指标之一。织物的纤维之间存在空隙,空隙里空气为静态空气,静态空气热导率 0.0296 W/(mK)。计算织物热导率时既考虑纤维之间的传热,也不能忽略空隙中空气的传热。

        我们在 25℃实验室环境下,用Hotdisk 装置对织物进行加热和测量,Hotdisk 恒定功率为 1mW,作用时间 1s,在 0.1s 时热流恰好传递到织物另一侧。实验测得 0~0.1s 之间织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据见附件1。

请建立数学模型,回答下列问题:

问题 1:假设附件 1 的温度为热源侧织物的表面温度,只考虑纤维传热和空隙间的气体传热,建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模型。在附件 2 的实验样品参数条件下,测得如图 2 所示的平纹织物的整体热导率为 0.033W/(mK),请根据建立的数学模型计算出单根 A 纤维的热导率。

问题 2:假设:1)制成织物的任意单根 A 纤维的直径在0.3mm~0.6mm。 2)织物位于热源一侧表面温度随时间的变化的数据依旧参考附件 1。3)由于温 度和织物结构造成的织物整体密度和比热的变化可以忽略。请问如何选用单根 A 纤维的直径及调整织物的经密、纬密、弯曲角度,使得织物的整体热导率最低。

问题 3:如果附件 1 的温度实际是热源侧织物表面空气的温度,此时该侧就会发生对流换热,假定织物表面的对流换热系数为 50 W/(m2K),请重新解答问题一和问题二。


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