动态规划-混合、二维费用、分组背包

混合背包

如果将01背包、完全背包、多重背包三个背包混合起来，也就是说，有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包），应该怎么求解呢？

• 01背包与完全背包的混合
  考虑到在01背包和完全背包中给出的伪代码只有一处不同，即 j 的循环顺序不一样，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。

• 再加上多重背包
  如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIPNOIPNOIP范围的算法的话，用多重背包中将每个这类物品分成 O(log(p[i])) 个01背包的物品的方法也已经很优了。当然，更清晰的写法是调用我们前面给出的三个相关过程。代码：

m[i]:每个物品的件数，0代表无穷个
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (m[i] == 0)
        for (int j = v[i]; j <= V; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + p[i]);
    else
    for (int k = 1; k <= m[i]; k++)
        for (int j = V; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + p[i]);

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二维费用背包

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第 i 件物品所需的两种代价分别为 w[i] 和 g[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为 V 和 T。物品的价值为 v[i]。

算法思路

费用加了一维，只需状态也加一维即可。
设 [i][j][k] 表示前 i 件物品付出两种代价分别为 j 和 k 时可获得的最大价值。

状态转移方程就是：

f[i][j][k] = max{ f[i−1][j][k],f[i−1][j−w[i]][k−g[i]]+v[i] }

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量 j 和 k 采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。代码：

算法优化

二维费用背包也可以进行空间复杂度的优化，即使用二维数组替代三维数组：

• 当每件物品只可以取一次时变量 j 和 k 采用逆序循环

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= w[i]; j--)
        for (int k = T; k >= g[i]; k--)
            f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v[i]][k - g[i]] + p[i]);

例题：Luogu 1757 通天之分组背包

• 物品有如完全背包问题时采用顺序循环
• 当物品有如多重背包问题时拆分物品

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分组背包

问题描述

有n件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是pv[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法思路

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。
设f[k][j]表示前 k 组物品放入一个容量为 j 的背包能获得的最大价值，则有：

f[k][j]=max(f[k−1][j],f[k−1][j−v[i]]+p[i]∣物品i属于组k)

伪代码如下：

for (所有的组k)
    for (int j = V; j >= 0; j--)
        for (所有属于组k的i)
            f[j] = max{f[j], f[j - v[i]] + p[i]}

注意for(j...0)这一层循环必须在for(所有的 i 属于组k)之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。

尝试一下例题：

一天，小 A 去远游，他有一个容量为45背包，现有3种物品，大致可分为 2 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

class Solution {
    
    let K:[[Int]] = [[10,10],[50]]
    // 价值
    let p:[Int] = [10,5,400]
    
    func findMaxPrice(capital V: Int) -> Int {
        var dp = Array(repeating: 0, count: V + 1)
        
        for k in 0..= m[i] {
                        dp[j] = max(dp[j], dp[j - m[i]] + p[i])
                    }
                }
            }
        }
        return dp[V]
    }
}

输出10