有向图强连通分量Tarjan算法

 在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量：

    根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，Low(u)=Min { DFN(u), Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点 DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)} 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码：

tarjan(u)  
{  
  DFN[u]=Low[u]=++Index  //  为节点u设定次序编号和Low初值  
  Stack.push(u) //  将节点u压入栈中  
   for each (u, v)  in E  //  枚举每一条边  
     if(v  is not visted) //  如果节点v未被访问过  
      tarjan(v) //  继续向下找  
      Low[u]= min(Low[u], Low[v])  
    elseif(v  in S) //  如果节点u还在栈内  
      Low[u]= min(Low[u], DFN[v])  
  
     if(DFN[u]== Low[u]) //  如果节点u是强连通分量的根  
      repeat  
        v = S.pop //  将v退栈，为该强连通分量中一个顶点  
        print v  
      until (u== v)  
}  

 

接下来是对算法流程的演示。从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4像节点1的后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，不再访问6，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=4。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
    求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。

转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_60707c0f0100xdh5.html

下面给出我自己的Tarjan算法的源码：

 

vector< int>g[N];  
int n,m;  
/*  
*instack记录节点u是否在栈中 
*dfn记录节点u第一次被访问是的时间戳 
*low记录与节点u和u的子树节点中最早的时间戳 
*belong记录每个节点属于的强连通分量编号 
*/  
int instack[N],low[N],dfn[N],stack[N],belong[N];  
int times,top,cnt;  
  
void tarjan( int u)  
{  
     int v;  
    dfn[u] = low[u] = ++times;  
    instack[u] =  1;  
    stack[++top] = u;  
     for( int i =  0 ; i < g[u].size() ; i ++)  
    {  
        v = g[u][i];  
         if(!dfn[v]) // 节点v还没有被访问  
        {  
            tarjan(v); // 递归访问每个子树  
            low[u] = min(low[u],low[v]); // 更新每个子树中最早访问的时间戳  
        }  
         // u与v相连，但v已经被访问过了，且还在栈中  
         // 更新子树节点最早的时间戳  
         else  if(instack[v] && dfn[v] < low[u])  
            low[u] = dfn[v];  
    }  
     // 第一访问的时间戳和最早时间戳相等，说明节点u是强连通分量的根  
     if(dfn[u] == low[u])  
    {  
        cnt++;  
         do  
        {  
            v = stack[top--];  
            instack[v] =  0;  
            belong[v] = cnt;  
            cout<<v<< "   ";  
        }  
         while(u != v);  
        cout<<endl;  
    }  
}