待补充
1、逆序数: 所有的逆序的总数 ;
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 ;
3、行列式性质:(用于化简行列式);
(1)行列互换(转置),行列式的值不变 ;
(2)两行(列)互换,行列式变号 ;
(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式 ;
(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和 ;
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变 ;
(6)两行成比例,行列式的值为0 ;
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 ;
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 ;
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0;
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;
(3)
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c;
(3)一行(列)乘 k加到另一行(列);
7、初等矩阵: 单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵 ;
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,会有
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;
(2)A 为数字矩阵:A阶梯型(每行第一个非零元素的下面的元素均为0),r(A)=非零行的行数;
13、分块矩阵的乘法: 要求前列后行分法相同;
14、分块矩阵求逆:
8、线性相关注意事项:
9、线性相关的充要条件:
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关;
(2)部分相关,则整体相关;
(3)高维相关,则低维相关;
(4)以少表多,多必相关;
11、线性无关的充要条件
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关;
(2)低维无关,高维无关;
(3)正交的非零向量组线性无关;
(4)不同特征值的特征向量无关;
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法;
(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关;
14、极大线性无关组不唯一 ;
15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩(矩阵的秩 :非零子式的最高阶数);
16、极大线性无关组的求法
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
10、非齐次线性方程组的通解
9、相似对角化定义:
10、相似对角化的充要条件
11、相似对角化的充分条件:
12、重要结论:
1、二次型:
(1)一般形式
(2)矩阵形式(常用):
2、标准形:如果二次型只含平方项,即
这样的二次型称为标准形(对角线);
4、定义:
正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;
负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;
规范型:规范型中系数1的个数等于正特征值的个数 (或二次型正惯性指数),规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数 (或二次型负惯性指数)。不考虑+1, -1 顺序的情况下,规范型是唯一的;
5、惯性定理: 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。
注:
(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;
(2) p=正特征值的个数, q =负特征值的个数, p+q=非零特征值的个数 =r(A);