4.1 连续变量假设检验 之 假设检验简介

在总体的分布函数只知其形式，但不知其参数的情况下，或者对总体分布完全未知的情况下，为了推断总体的某些未知特征，先提出某些关于总体的假设，然后要根据样本，采用适当的方法对所提出的假设做出接受或者拒绝的决策，这一过程叫做假设检验(hypothesis test)。假设检验分为参数检验和非参数检验。

我们通过简单示例来说明概念：

某制药公司宣称，改公司研发的一款治疗打鼾的药，可以使患者两周内的治愈率为90%。某医院医生，在临床观察中抽取了15名患者发现：两周治疗后，治愈的患者数为11，未治愈患者数为4。根据制药公司都说法，这15名患者中，应该有14人治愈。现在问题来了，到底该制药公司发布的是虚假广告，还是医生抽样数据有问题？

我们可以对制药公司的断言进行检验：首先假设制药公司的断言属实，然后出这个断言出发对现有的证据进行检验，最后做出决策。这个过程，称为假设检验。

基本思想

假设检验的基本思想是“小概率事件”原理，其统计推断方法是带有某种概率性质的反证法。小概率思想是指小概率事件在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出检验假设，再用适当的统计方法，利用小概率原理，确定假设是否成立。即为了检验一个假设H0是否正确，首先假定该假设H0正确，然后根据样本对假设H0做出接受或拒绝的决策。如果样本观察值导致了“小概率事件”发生，就应拒绝假设H0，否则应**接受假设H0 **。

假设检验中所谓“小概率事件”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的，但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设H0就越有说服力，常记这个概率值为α(0<α<1)，称为检验的显著性水平。对于不同的问题，检验的显著性水平α不一定相同，一般认为，事件发生的概率小于0.1、0.05或0.01等，即“小概率事件” 。

假设检验的步骤

一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤：

• 提出假设；
• 构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值；
• 规定显著性水平，建立检验规则；
• 做出判断。

假设检验的假设

从前面步骤可看出，我们首先提出两个新假设：

一种叫原假设，也叫零假设，用H0表示。原假设一般是统计者想要拒绝的假设。原假设的设置一般为：等于=、大于等于>=、小于等于<=。
另外一种叫备择假设，用H1表示。备则假设是统计者想要接受的假设。备择假设的设置一般为：不等于、大于>、小于<。

在前面的示例中，原假设和备择假设分别是：

• 原假设：药物能够在两周内治愈90%的患者，记作：H0：p=0.9

• 备择假设：药物在两周内之余患者少于90%，记作：H1：P<0.9

为什么统计着想要拒绝的假设放在原假设呢？因为原假设被拒绝出错的话，只能犯第I类错误，而犯第I类错误的概率已经被规定的显著性水平所控制。是不是有点不太明白，我们来看下一节。

假设检验中两类错误

第I类错误(Type I Error)：又称弃真错误，当原假设为真时拒绝原假设。犯第Ⅰ类错误的概率通常记为α 。
第Ⅱ类错误(type Ⅱ error): 又称取伪错误，当原假设为假时没有拒绝原假设。犯第Ⅱ类错误的概率通常记为β。

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在统计实践中，进行假设检验时一般先控制第Ⅰ类错误发生的概率，并确定犯第Ⅰ类错误的概率最大值，称为检验的显著性水平。在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的概率常常呈现反向的变化，要使α和β 都同时减小，除非增加样本的容量。因此，统计学家奈曼与皮尔逊提出了一个原则：即在控制犯第一类错误的概率情况下，尽量使犯第二类错误的概率小。
在实际问题中，我们往往把要否定的陈述作为原假设，而把拟采纳的陈述本身作为备择假设，只对犯第一类错误的概率加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率。

显著性水平

在统计假设中，这种只控制α而不考虑β的假设检验，称为显著性检验，α称为显著性水平。显著性水平是指当原假设实际上正确时，检验统计量落在拒绝域的概率，简单理解就是犯弃真错误的概率。

显著性水平最常用的取值是：0.05/0.01/0.001等。一般情况下，根据研究的问题，如果犯弃针错误损失大，为减少此类错误，α的取值应适当减少。

检验方式与拒绝域

检验方式分为两种：双侧检验与单侧检验，单侧检验包括左侧检验、右侧检验。双侧检验则是包含左右侧检验。
拒绝域：拒绝域是由显著性水平围成的区域。拒绝域的功能主要用来判断假设检验是否拒绝原假设的。如果样本观测计算出来的检验统计量的具体数值落在拒绝域内，就拒绝原假设，否则不拒绝原假设。给定显著性水平α后，查表就可以得到具体临界值，将检验统计量与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设。
双侧检验拒绝域：

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左侧检验拒绝域：

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右侧检验拒绝域：

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那么我们如何判断样本结果是否位于拒绝域中？判断是否位于拒绝域中，就是比较p值与α进行比较，所以样本结果位于拒绝域的条件是：

左尾：p < α

右尾：p < α

双尾：p < α/2 （有待验证）

对于示例中的判断，若设定显著性水平为0.05，则若p<0.05，则拒绝H0，接受H1，反之亦然。

假设检验的假设形式

对于一个总体样本均数的假设检验形式：

双侧检验：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

左侧检验：H0：μ>=μ0，H1：μ<μ0

右侧检验：H0：μ<=μ0，H1：μ>μ0

判断原则：P<α，拒绝H0

两个总体样本均数的假设检验形式：

双侧检验：H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

左侧检验：H0：μ1>=μ2，H1：μ1<μ2

右侧检验：H0：μ1<=μ2，H1：μ1>μ2

判断原则：P<α，拒绝H0