曲线离散化之GCPnts包解析

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关键字：OpenCASCADE、OpenGL、曲线离散化、GCPnts

一、概要

计算机图形学中绘制曲线，无论是绘制参数曲线还是非参数曲线，都需要先将参数曲线进行离散化，通过离散化得到一组离散化的点集，然后再将点集发送给图形渲染管线进行处理，最终生成我们想要的曲线。

OpenCASCADE中提供了GCPnts包。利用GCPnts包中提供的类，我们可以很方便的将三维曲线进行离散化。

二、GCPnts包中各种类说明

1. GCPnts_AbscissaPoint 弧长点算法

a. 可以用来计算曲线长度。
b. 用来计算曲线上与给定参数位置间隔一定弧长的位置点。

其中b很有用,后面均匀弧长算法内部就用到了
通过函数积分来计算曲线弧长
math_GaussSingleIntegration: 该类使用高斯勒让得积分算法，实现了对只有一个自变量的函数求积分

算法如下：

1. 微元弧长 ds
   已知曲线Adaptor3d_Curve adaptorCurve,可以求得任意一点的切向量
   gp_Pnt curentPnt; gp_Vec curVec;
   adaptorCurve.D1(parameter,curentPnt,curVec);
   切向量的两个坐标就是dx 和 dy,
   所以对于曲线有微元弧长 ds = sqrt(dx^2 + dy^2) =curVec.Magnitude();
2. 根据高斯-勒让得积分公式进行积分求解。
   根据积分点和权重近似计算函数积分。这个近似精度非常高
   “”

2. GCPnts_QuasiUniformAbscissa 准均匀弧长分布算法

功能：计算的曲线上的一组离散点，这些点按弧长均匀分布。
说明： 该方法需要指定一个期望的离散点的个数。
算法：每两个连续的离散点之间的弧长相等。
事例代码：

  //GCPnts_QuasiUniformAbscissa 准均匀弧长分布算法  也就是等弧长分布
  // 计算一组按弧长均匀分布的离散点   
  // 可以根据指定的弧长 或者指定的多少个点
  //Abscissa is the curvilinear distance between  two consecutive points of the distribution 
  //Abscissa 表示连续的两个分布点之间的弧长 
  //算法 两点之间的弧长等于的弧长  
  GCPnts_QuasiUniformAbscissa  QUATooler;

  //curveLength 可以由GCPnts_AbscissaPoint求得这里取曲线总长的两倍  
  Standard_Integer  needPointsCount = curveLength * 2.0;  //表示期望的点数量

  QUATooler.Initialize(adaptorCurve, needPointsCount);//取两倍曲线长度的点 也就是0.5mm弧长一个点

  Standard_Integer pointsCount = QUATooler.NbPoints();
  TColgp_SequenceOfPnt SeqP; 
  for (int i = 1; i <= pointsCount; i++) 
  {    
    SeqP.Append(adaptorCurve.Value(QUATooler.Parameter(i)));
  }

注：半径50圆 GCPnts_QuasiUniformAbscissa计算的点有628个。

3. GCPnts_UniformAbscissa 均匀弧长分布算法

功能：同方法GCPnts_QuasiUniformAbscissa，用于计算的曲线上的一组离散点，这些点按弧长均匀分布。
但是提供两种方式: a. 指定期望点的个数 b. 指定弧长。
事例代码：

GCPnts_UniformAbscissa UATooler;  
//a 指定期望点的个数  
//同GCPnts_QuasiUniformAbscissa 这里不举例  
//UATooler.Initialize(adaptorCurve, needPointsCount);  
//b 指定弧长   
 Standard_Real abscissa = 10;//弧长10mm
 UATooler.Initialize(adaptorCurve, abscissa);  
 Standard_Integer pntCount = UATooler.NbPoints();  TColgp_SequenceOfPnt SeqP; 
 for (int i = 1; i <= pntCount; i++) 
 {    
    SeqP.Append(adaptorCurve.Value(UATooler.Parameter(i))); 
 }

注：半径50圆 弧长 0.5mm 计算的点有630个
2 * 3.1415926 * 50 / 0.5 = 628.31852
半径50圆 弧长 10mm 计算的点有33个
2 * 3.1415926 * 50 / 10 = 31.415926

4. GCPnts_QuasiUniformDeflection 准均匀偏差分布算法

功能：计算的曲线上的一组离散点。
算法说明：
假定 Pi 和 Pj为 分布的两连续的离散点 ,它们的参数为ui和uj。
计算偏差deflection ：Pi和Pj连线(弦长)的中点和曲线上中间参数 [(ui+uj) / 2 ] 位置点之间的距离。
则两连续的离散点的计算偏差deflection必须小于给定的偏差Deflection值。
事例代码：

GCPnts_QuasiUniformDeflection QUDTooler;  
QUDTooler.Initialize(adaptorCurve, 1.e-5);//这里我们要求 deflection <= 1.e-5  
Standard_Integer pointsLength = QUDTooler.NbPoints();  TColgp_SequenceOfPnt SeqP;  
for (int i = 1; i <= pointsLength; i++) 
 {   
    SeqP.Append(QUDTooler.Value(i)); 
 }

注：半径50圆 准均匀偏差分布算法计算的点有4969个。

5. GCPnts_UniformDeflection 均匀偏差算法

功能：用于计算C2连续的曲线上的一组离散点。
该算法比较耗时。请使用GCPnts_QuasiUniformDeflection算法。
GCPnts_QuasiUniformDeflection方法可以用于计算非C2连续的曲线。

6. GCPnts_TangentialDeflection 切矢量偏离算法

功能：计算的曲线上的一组离散点。
算法原理：如果P1(u1)和 P2(u2) 曲线上两个连续的离散点。
P3 表示曲线上中间参数 ((u1+u2)/2)点。
则P3需要满足如下条件:
条件1： ||P1P3^P3P2||/||P1P3||*||P3P2|| 偏转角度小于给定的角度AngularDeflection
a * b = |a||b|cosθ 也就是 cosθ < AngularDeflection
条件2 ： ||P1P2^P1P3||/||P1P2|| 表示曲线切线 与 弦长夹角要小于 给定的曲线偏离率CurvatureDeflection
|a|cosθ < CurvatureDeflection

事例代码：

GCPnts_TangentialDeflection  TDTooler;  //声明算法类
Standard_Real AngularDeflection = 1 / M_PI_4;  //这里去角度偏差1 / M_PI_4
Standard_Real CurvatureDeflection = 1.e-5;  //这里去曲率偏差 1.e-5
TDTooler.Initialize(adaptorCurve, AngularDeflection, CurvatureDeflection); //算法初始化
Standard_Integer PLength = TDTooler.NbPoints();  
TColgp_SequenceOfPnt SeqP
 for (int i = 1; i <= PLength; i++)  
{    
   SeqP.Append(TDTooler.Value(i));
 }

注：半径50圆 使用切矢量偏离算法计算的点有4969个。