C++ 之 线性插值 贝塞尔曲线 非线性动画
非线性动画在程序，游戏和动画中运用非常广泛，那么我们应该如何实现？
非线性动画上的点在s-t图像上非线性，即不为一次函数，实则为处处连续的曲线
对于此曲线可模拟，这里我们用贝塞尔曲线
一，基本介绍
在某一时刻t s时，AE/AB=BF/BC=EG/EF
想象在平面内有点A，B，C，线段AB，CB上分别有动点E，F，且E，F与其起始点（A，B）距离在一定时间内占所在线段的比例相同，在线段EF上有点G，其机制和E，F相同，则可想像到G点运动轨迹成曲线
这就是二次贝塞尔曲线
二，线性插值
好，你已经基本了解我们所做的，即模拟G点轨迹完成曲线模拟
想要完成这项任务就必须求得G点轨迹，我们需要一个描述单片运动的函数：
lerp函数
在平面直角坐标系yOx内有两定点AB，E点为在线段AB上运动的动点
若使w=AE/AB，w∈[0, 1.0]
易得向量OE=OA+AE
∵AE=wAB
∴OE=OA+wAB
即对于结构体Point E=A+w(B-A)=A-wA+wB=(1-w)A+wB
有函数f(A, B, w)=(1-w)A+wB
此函数描述了在1s（w为时间，w∈[0, 1.0]）内动点E在线段AB上的运动
这个函数就叫线性插值，记作lerp(A, B, t)
三，求G点轨迹
我们基本上完成了对一个线性插值点运动状态描述的普遍函数，现在我们利用它来完成G点运动轨迹
E=lerp(A, B, t) , F=lerp(B ,C, t)
t是描述运动的时间，在0-1s间，同时也可视作对于每个线性插值点中的w(weight权重，即为AE/AB=BF/BC=EG/EF)，这样我们保障了对于每个线段插入点的运动相等性----在t=0时同时运动，t=1时同时停止运动
同样的，G=lerp(E, F, t)
所以G点的轨迹也就呼之欲出了：
E=lerp(A, B, t)
F=lerp(B ,C, t)
G=lerp(E, F, t)
G=lerp(lerp(A, B, t) , lerp(B ,C, t), t)
=> G=lerp((1-t)A+tB, (1-t)B+tC, t)
=(1-t)[(1-t)A+tB]+t[(1-t)B+tC]
=(1-t)^2 A+2t(1-t)B+t^2 C
这就是二次贝塞尔曲线方程，三次同理
我们来用C++模拟一下：
代码如下：
G点轨迹在21行，IDE是小熊猫C++，环境Win11，绘图库为EGE
效果：
嗯，总的来说效果还行
接下来，有了曲线方程，我们可以开始做一下非线性了
四，非线性动画
这里以二次贝塞尔曲线为例
想要达到非线性效果，就得让角色运动速度是非线性的（废话）
即使物体运动速度会随时间发生变化(加速度改变)：v/t=a≠C
将贝塞尔曲线放在以A为原点的v-t坐标系上,令A.y=C.y，显然这就是一个非线性的运动图
红线为所得G点轨迹
将红线标为函数g(t)
则由简单的微分知识可以知道
角色运动加速度a=v/t=lim(Δt→0) g(t+Δt)/Δt
由于步长有限，而且动画不需要太过精确，所以这里我们取Δt=step（步长，程序中我取在0.001）
那么加速度a=(G.y-G'y)/(G.x-G'.x)
这里的G‘是指上一步（上一个单位时常step中）G的位置
这样我们便通过二次贝塞尔曲线完成了加速度的变化
这意味着我们可以以此更改物体移动的瞬时速率（加速度），从而使物体在运动时速度随着时间连续变化
这样我们只需要将物体运动速度在每次刷新加上加速度，就能实现非线性了：
效果就不展示了
代码如下：
自己复制试一下：
#include
#include
#define get_key(k) (GetAsyncKeyState(k)&0x8000)
using namespace std;
using namespace ege;
float t = 0, step = 0.01;
ege_point A, B, C;
ege_point G = {0.0, 0.0}, nG = {100000, 1};
float v = 0.0, x = 1280, y = 240, r = 10;
float wt = 1, wv = 0.1; //wt偏移调整加速度和曲线相关性 wv速度缩放值
int main() {
A = {0, 480}, B = {240, 0}, C = {480, 480};
initgraph(2560, 480);
getch();
setcolor(YELLOW);
while (t < 1) {
G = {(1 - t)*(1 - t)*A.x + 2 * t*(1 - t)*B.x + t*t * C.x, (1 - t)*(1 - t)*A.y + 2 * t*(1 - t)*B.y + t*t * C.y};
float delta = (G.y - nG.y) / (G.x - nG.x);
nG = G;
t += step;
Sleep(0);
cleardevice();
circle(x, y, r);
v += (wt * delta);
x += (v * wv);
cout << "delta_v " << v << endl;
}
system("pause");
return 0;
} 五，结语
本期教程我们经历了从发现问题→抽象问题→建立模型→解决问题→实际应用的过程，这是我们共同的进步
在处理问题我们也运用了加速度，函数，导数，方程等等知识，这是我们综合应用和解决问题的能力的重要飞跃！