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ln(1+x)和ln(1-x)的麦克劳林级数

麦克劳林级数就是当a为0时的泰勒级数。

回顾一下泰勒级数先。

f(a)=f(a)+\frac{​{f}'(a)}{1!}*(x-a)+\frac{​{f}''(a)}{2!}*(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}*(x-a)^{3}.....

先算ln(1+x)吧

f(0)=ln(1)=0  

几阶导 导数式 \frac{f^{(n)}}{n!}第n项值
{f}'(x) \frac{1}{x+1} 1
{f}''(x) \frac{-1}{(x+1)^{2}} \frac{-1}{2!}=\frac{-1}{2}
f^{(3)} \frac{-1*-2}{(x+1)^{3}}=\frac{2}{(x+1)^{3}} \frac{2!}{3!}=\frac{1}{3}
f^{(4)} \frac{2*-3}{(x+1)^{4}} \frac{-3!}{4!}=\frac{-1}{4}
f^{(5)} \frac{2*-3}{(x+1)^{4}}=\frac{2*3*4}{(x+1)^{5}} \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5}

 所以

ln(x+1)=(x-0)-\frac{1}{2}(x-0)^{2}+\frac{1}{3}(x-0)^{3}-\frac{1}{4}(x-0)^{4}+\frac{1}{5}(x-0)^{5}-\frac{1}{6}(x-0)^{6}+...ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}+...

 ln(x+1）的麦克劳林级数为\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}

好了，接下来，我们求ln(1-x)的麦克劳林级数

同样的，为了清晰起见，咱画一张表

几阶导 导数式 \frac{f^{(n)}}{n!}第n项值
{f}'(x) \frac{-1}{1-x} -1
{f}''(x) \frac{-1*-1*-1}{(1-x)^{2}} \frac{-1}{2!}=\frac{-1}{2}
f^{(3)} \frac{-1*-2*-1}{(1-x)^{3}} \frac{-2!}{3!}=\frac{-1}{3}
f^{(4)} \frac{-2!*-3*-1}{(1-x)^4} \frac{-3!}{4!}=\frac{-1}{4}
f^{(5)} \frac{-4!}{(1-x)^{5}} \frac{-4!}{5!}=\frac{-1}{5}
f^{(6)} \frac{-4!*-5*-1}{(1-x)^{6}} \frac{-5!}{6!}=\frac{-1}{6}

 所以ln(1-x)的麦克劳林级数就可以得出来啦，因为次数是负的，然后是-x，所以两个抵消，就一直是负的

ln(1-x)=-(x-0)-\frac{1}{2}(x-0)^{2}-\frac{1}{3}(x-0)^{3}-\frac{1}{4}(x-0)^{4}-\frac{1}{5}(x-0)^{5}-\frac{1}{6}(x-0)^{6}-...

ln(1-x)的麦克劳林级数为 \sum_{n=0}^{\infty } \frac{-1}{n}x^{n}

 最后，总结一下

ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}+...

 ln(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}-...

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