四、随机变量及其分布函数的基本定义和性质 random variables and distribution

1、随机变量是一个从样本空间Ω映射到实数集合R的函数。

2、随机变量的分布函数：$F_X(x)=P(X\le x)$，称为X服从$F_X(x)$，记为$X\sim F_X(x)$。

• 离散型随机变量：分布列
• 连续型随机变量：$X\sim F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使得$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，则称X为连续性随机变量，$f(x)$为X的概率密度函数（PDF）。

概率密度函数一定满足：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数，但分布函数在R上是连续函数的随机变量不一定是连续型随机变量。

连续型随机变量的单点概率为0，f(x)不是其单点概率。

3、分布函数的性质：

• 单调性：F(x)在$(-\infty ,+\infty )$上单调非减。
• 有界性：$\forall x\in R,0\le F(x)\le 1$
• 右连续性：$\forall x_0\in R,\underset{x\to x_0}{\lim }F(x)=F(x_0)$

利用分布函数计算随机变量在不同区间上的概率：
$$\begin{array}{rl}P(a<x\le b)& =F(b)-F(a)\\ P(x=a)& =P(x\le a)-P(x<a)=F(a)-\underset{x\to a-}{\lim }F(x)=F(a)-F(a-)\\ P(a\le x\le b)& =F(b)-F(a-)\end{array}$$
4、计算随机变量分布函数唯一且最有效的方法：利用定义$F(x)=P(X\le x)$