【笔记】线段树
【笔记】线段树 目录
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- 简介
- 定义
- 建树
- 更新
- 例题1: 单点修改，区间查询
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- 单点修改
- 区间查询
- 本题完整代码
- 例题2: 区间修改，单点查询
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- 思路
- 本题完整代码
- 例题3: 区间修改，区间查询
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- 懒标记
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- 基本思想
- 应用
- 区间修改
- 本题完整代码
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简介
线段树是一棵二叉树。如果删去最后一层节点，它是一棵完全二叉树。
线段树是一种常用于处理区间问题的数据结构，分为 递归式线段树 和 非递归式线段树（又称zkw线段树）。
其单次操作时间复杂度一般为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)，不过常数较大。如果追求最优解，建议使用树状数组。
线段树的常用操作共有 3 3 3 种，分别是：
- 单点修改，区间查询。
- 区间修改，单点查询。
- 区间修改，区间查询。
下面的例题就以这三种情况和求和操作为例讲解。
定义
放个图：
我们考虑完全二叉树的性质：
若当前节点的编号为 x x x，则左儿子的编号为 2 x 2x 2x，右儿子的编号为 2 x + 1 2x+1 2x+1。
由于线段树是完全二叉树，所以线段树的节点编号也遵循这个原则。
但是我们需要频繁用到 × 2 , + 1 \times2,+1 ×2,+1 等操作，怎么能让它效率高一点呢？
答案就是“位运算”。 x × 2 x \times 2 x×2 可以用 x << 1 替代， x × 2 + 1 x \times 2 + 1 x×2+1 可以用 x << 1 | 1 替代。
现在看我们需要维护什么。
对于每个节点，我们分别维护区间左端点 l l l，区间右端点 r r r，以及维护的区间值 x x x 和懒标记（如果你有的话）。
节点用结构体数组维护，下标遵循完全二叉树的性质。
上代码：
const int N = 100010;
struct Segment_Tree_Node
{
int l, r; // 区间左右端点
int sum; // 这里以区间和为例
int lazy; // 懒标记，只在有区间修改时用
}tr[N << 2];
有的同学就会问了：为什么要开 4 4 4 倍空间呢？
观察我们上面提到的：
线段树是一棵二叉树。如果删去最后一层节点，它是一棵完全二叉树。
假设我们维护的数列长度为 n n n。
因为叶子节点的 l l l 与 r r r 相等，所以叶子节点个数是 n n n。
上面的所有节点共有大约 n − 1 n-1 n−1 个，因为根据等比数列求和公式，
2 0 + 2 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 n − 1 = 2 n − 1 2^0 + 2^1 + ··· + 2^{n-1}=2^n-1 20+21+⋅⋅⋅+2n−1=2n−1
但是，叶子节点的下面可能还有一层节点，而这层节点的个数为 2 × n 2 \times n 2×n。
所以保守起见，我们需要开 n + n + 2 × n = 4 × n n + n + 2 \times n = 4 \times n n+n+2×n=4×n 的空间。
建树
所谓建树，就是遍历所有节点，并初始化左右端点和维护的数值。
我们考虑递归遍历。
这个不难，直接放代码：
void build(int u, int l, int r) // 当前区间编号，区间左右端点
{
if (l == r) tr[u] = {l, r, a[l], 0}; // 初始化叶子节点的左右端点和数值
else
{
tr[u] = {l, r}; // 初始化非叶子节点的左右端点
LL mid = l + r >> 1; // 以本区间中点向下取整作为左儿子的右端点
build(u << 1, l, mid); // 建左儿子的树
build(u << 1 | 1, mid + 1, r); // 建右儿子的树
pushup(u); // 用子节点的数值更新父节点数值
}
}
更新
我们发现建树用到了 pushup 操作，这个是用子节点的数值更新父节点数值。
很简单，放代码：
void pushup(LL u)
{
tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
// 用左右儿子的sum更新该节点的sum
}
例题1: 单点修改，区间查询
原题链接：P3374 【模板】树状数组 1
不要说我用树状数组的题练习线段树，我找不到线段树的模板题才用的这个
单点修改
如果递归到这个点所在的叶子节点就直接修改，否则判断它在这个区间的左儿子还是右儿子并递归。
代码：
void modify(int u, int x, int d) // 当前节点编号、修改的节点编号、加的数值
{
if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) // 如果当前的节点和要修改的节点相同就直接修改
tr[u].sum += d;
else
{
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; // 否则取当前区间的中点
if (x <= mid) modify(u << 1, x, d); // 如果在左儿子就递归到左儿子
else modify(u << 1 | 1, x, d); // 如果在右儿子就递归到右儿子
pushup(u); // 因为修改了，所以更新一下当前节点的值
}
}
区间查询
结合代码理解：
int query(int u, int l, int r) // 当前节点编号、查询区间的左右端点
{
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) // 如果当前节点完全被查询就返回这个区间的值
return tr[u].sum;
else
{
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; // 否则取当前区间的中点
int res = 0;
if (l <= mid) res += query(u << 1, l, r); // 涉及到左儿子
if (r > mid) res += query(u << 1 | 1, l, r); // 涉及到右儿子
return res; // 返回
}
}
本题完整代码
#include 例题2: 区间修改，单点查询
原题链接：P3368 【模板】树状数组 2
思路
相信大家都学过差分，它可以 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度进行区间修改。
所以我们直接把刚才的数组进行差分，再建树。
注意：由于差分涉及在第 n + 1 n+1 n+1 个节点中进行操作，所以建树时要到 n + 1 n+1 n+1。
本题完整代码
#include 例题3: 区间修改，区间查询
原题链接：P3372 【模板】线段树 1
懒标记
基本思想
当进行区间修改时，只修改当前区间，而它的子节点的修改先欠着，等用到了子节点的时候再往下传。
应用
将懒标记下传的操作：pushdown 函数
如果这个节点有懒标记，就把懒标记加到子节点的懒标记中，并把当前节点的懒标记清空。
代码：
void pushdown(LL u)
{
Segment_Tree_Node &U = tr[u], &L = tr[u << 1], &R = tr[u << 1 | 1];
if (tr[u].lazy) // 如果当前节点有懒标记
{
L.lazy += U.lazy, L.sum += (L.r - L.l + 1) * U.lazy; // 左儿子懒标记和区间和
R.lazy += U.lazy, R.sum += (R.r - R.l + 1) * U.lazy; // 右儿子懒标记和区间和
U.lazy = 0; // 清空当前节点懒标记
// 显然，区间和在加的时候应该加上懒标记和区间长度的乘积
}
}
区间修改
这里和 pushdown 差不多，修改懒标记和区间和。
代码：
void modify(LL u, LL l, LL r, LL d)
{
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) // 如果这个区间被完全包含
{
tr[u].lazy += d; // 修改懒标记
tr[u].sum += (tr[u].r - tr[u].l + 1) * d; // 区间和 + d * 区间长度
}
else
{
pushdown(u);
LL mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, d);
if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, d);
pushup(u);
}
}
本题完整代码
#include 
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