AcWing算法提高课-5.1.1哥德巴赫猜想

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题目描述

哥德巴赫猜想的内容如下：

任意一个大于 $4$ 的偶数都可以拆成两个奇素数之和。

例如：

$8=3+5$
$20=3+17=7+13$
$42=5+37=11+31=13+29=19+23$

现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。

输入格式

输入包含多组数据。

每组数据占一行，包含一个偶数 $n$。

读入以 $0$ 结束。

输出格式

对于每组数据，输出形如 n = a + b，其中 $a,b$ 是奇素数。

若有多组满足条件的 $a,b$，输出 $b-a$ 最大的一组。

若无解，输出 Goldbach's conjecture is wrong.。

数据范围

输入最多包含 $50006$ 组数据。
$6\le n<10^6$

输入样例：

8
20
42
0

输出样例：

8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37

---

思路

显然这是一道关于质数的题。

观察数据范围，我们发现，需要复杂度最高是 $O(n)$ 的算法才能过。

所以我们考虑使用线性筛预处理出 $1\sim 10^6$ 的所有质数，然后从第一个开始枚举。
如果 $p\in \mathbb{P}$ 且 $n-p\in \mathbb{P}$，则输出。（$\mathbb{P}$ 为质数集）

最后我们考虑无解的情况。

虽然哥德巴赫猜想没有被证明，但是通过我们暴力算法的验证，我们发现在 $10^6$ 的范围内的哥德巴赫猜想 一定有解。

所以即使你不考虑无解情况照样 $\text{AC}$。

但是作者因为考虑到题解的严谨性，还是写了无解情况的判断。具体细节请看代码。

算法时间复杂度

AC Code

$\text{C}++$

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes() // 线性筛质数
{
	st[1] = true; // 这里特殊处理1不是质数（我们用false表示质数）
    for (int i = 2; i < N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= N / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    get_primes(); // 处理 1 ~ 1e6 所有质数
    
    while (cin >> n && n)
    {
        bool flag = 0;
        for (int i = 1; primes[i] <= n; i ++ )
            if (!st[n - primes[i]]) // 如果n-primes[i]是质数就输出
            {
                printf("%d = %d + %d\n", n, primes[i], n - primes[i]);
                flag = 1;
                break;
            }
        if (!flag) puts("Goldbach's conjecture is wrong."); // 无解情况
    }
    
    return 0;
}

---

最后，如果觉得对您有帮助的话，点个赞再走吧！