机器学习---梯度下降代码

1. 归一化

# Read data from csv
pga = pd.read_csv("pga.csv")
print(type(pga))

print(pga.head())

# Normalize the data 归一化值 (x - mean) / (std)
pga.distance = (pga.distance - pga.distance.mean()) / pga.distance.std()
pga.accuracy = (pga.accuracy - pga.accuracy.mean()) / pga.accuracy.std()
print(pga.head())

plt.scatter(pga.distance, pga.accuracy)
plt.xlabel('normalized distance')
plt.ylabel('normalized accuracy')
plt.show()

2. 线性回归 

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

# We can add a dimension to an array by using np.newaxis
print("Shape of the series:", pga.distance.shape)
print("Shape with newaxis:", pga.distance[:, np.newaxis].shape)

# The X variable in LinearRegression.fit() must have 2 dimensions
lm = LinearRegression()
lm.fit(pga.distance[:, np.newaxis], pga.accuracy)
theta1 = lm.coef_[0]
print (theta1)

       这段代码是一个示例，展示了如何使用np.newaxis和LinearRegression来进行线性回归。

       首先，通过np.newaxis将一维数组pga.distance添加一个新的维度，从而将其转换为二维数

组。通过打印数组的形状，可以看到在添加np.newaxis之前，pga.distance是一个一维数组，形状

为(n,)，而添加了np.newaxis之后，形状变为(n, 1)。

       然后，创建了一个LinearRegression的实例lm。使用lm.fit()方法，将转换后的特征数据

pga.distance[:, np.newaxis]和目标数据pga.accuracy作为参数，对线性回归模型进行训练拟

合。

       最后，通过lm.coef_获取训练后的模型系数（权重），并将第一个特征的系数赋值给变量

theta1。pga.distance和pga.accuracy是示例数据，你需要根据实际情况替换为你自己的数据。

3. 代价函数

# The cost function of a single variable linear model# The c 
# 单变量 代价函数
def cost(theta0, theta1, x, y):
    # Initialize cost
    J = 0
    # The number of observations
    m = len(x)
    # Loop through each observation
    # 通过每次观察进行循环
    for i in range(m):
        # Compute the hypothesis 
        # 计算假设
        h = theta1 * x[i] + theta0
        # Add to cost
        J += (h - y[i])**2
    # Average and normalize cost
    J /= (2*m)
    return J

# The cost for theta0=0 and theta1=1
print(cost(0, 1, pga.distance, pga.accuracy))

theta0 = 100
theta1s = np.linspace(-3,2,100)
costs = []
for theta1 in theta1s:
    costs.append(cost(theta0, theta1, pga.distance, pga.accuracy))

plt.plot(theta1s, costs)
plt.show()

       一个简单的单变量线性回归模型的代价函数实现，并且计算了在给定一组参数theta0和theta1

的情况下的代价。在这段代码中，cost()函数接受四个参数：theta0和theta1是线性模型的参数，

x是输入特征，y是目标变量。函数的目标是计算模型的代价。

       首先，初始化代价J为0。然后，通过循环遍历每个观察值，计算模型的预测值h。代价J通过累

加每个观察值的误差平方来计算。最后，将代价J除以观察值的数量的两倍，以平均和归一化代

价。在这段代码的后半部分，使用一个给定的theta0值和一组theta1值，计算每个theta1对应的代

价，并将结果存储在costs列表中。然后，使用plt.plot()将theta1s和costs进行绘制，显示出代

价函数随着theta1的变化而变化的趋势。

4. 绘制三维图

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Example of a Surface Plot using Matplotlib
# Create x an y variables
x = np.linspace(-10,10,100)
y = np.linspace(-10,10,100)

# We must create variables to represent each possible pair of points in x and y
# ie. (-10, 10), (-10, -9.8), ... (0, 0), ... ,(10, 9.8), (10,9.8)
# x and y need to be transformed to 100x100 matrices to represent these coordinates
# np.meshgrid will build a coordinate matrices of x and y
X, Y = np.meshgrid(x,y)
#print(X[:5,:5],"\n",Y[:5,:5])

# Compute a 3D parabola 
Z = X**2 + Y**2 

# Open a figure to place the plot on
fig = plt.figure()
# Initialize 3D plot
ax = fig.gca(projection='3d')
# Plot the surface
ax.plot_surface(X=X,Y=Y,Z=Z)

plt.show()

# Use these for your excerise 
theta0s = np.linspace(-2,2,100)
theta1s = np.linspace(-2,2, 100)
COST = np.empty(shape=(100,100))
# Meshgrid for paramaters 
T0S, T1S = np.meshgrid(theta0s, theta1s)
# for each parameter combination compute the cost
for i in range(100):
    for j in range(100):
        COST[i,j] = cost(T0S[0,i], T1S[j,0], pga.distance, pga.accuracy)

# make 3d plot
fig2 = plt.figure()
ax = fig2.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(X=T0S,Y=T1S,Z=COST)
plt.show()

 

       使用Matplotlib绘制三维图形，包括一个二次曲面图和一个代价函数的图。

       首先，通过使用np.linspace()函数，创建了从-10到10的等间距的100个点，分别赋值给变量

x和y。

       接下来，使用np.meshgrid()函数将x和y转换为100x100的网格矩阵，分别赋值给X和Y。这

样，X和Y矩阵中的每个元素表示一个(x, y)坐标对。

       然后，根据二次曲面方程Z = X**2 + Y**2计算出Z矩阵，其中Z矩阵中的每个元素表示对应坐

标点的高度。

       通过plt.figure()创建一个新的图形，并通过fig.gca(projection='3d')初始化一个三维图形

的坐标系。使用ax.plot_surface()函数绘制曲面图，其中X、Y和Z分别表示X、Y和Z矩阵。

       最后，使用plt.show()显示图形。

       在后半部分的代码中，首先创建了两个包含100个均匀分布数值的数组theta0s和theta1s，分

别表示theta0和theta1的取值范围。

       接下来，使用np.empty()创建一个空的100x100的数组COST，用于存储代价函数的计算结果。

通过使用np.meshgrid()函数，将theta0s和theta1s转换为网格矩阵T0S和T1S。

       然后，通过两个嵌套的循环遍历所有可能的参数组合，并使用cost()函数计算每个参数组合对

应的代价，并将结果存储在COST数组中。

       最后，使用plt.figure()创建一个新的图形，并通过fig.gca(projection='3d')初始化一个三

维图形的坐标系。使用ax.plot_surface()函数绘制代价函数的曲面图，其中X、Y和Z分别表示

T0S、T1S和COST矩阵。使用plt.show()显示图形。

5. 求导函数

线性回归模型的偏导数公式可以通过最小化代价函数推导得到。以下是推导过程：

线性回归模型假设函数为：h(x) = theta0 + theta1 * x

代价函数为均方差函数（Mean Squared Error）：J(theta0, theta1) = (1/2m) * Σ(h(x) - y)^2

其中，m 是样本数量，h(x) 是模型的预测值，y 是观测值。

为了求解最优的模型参数 theta0 和 theta1，我们需要计算代价函数对这两个参数的偏导数。

首先，计算代价函数对 theta0 的偏导数：

∂J/∂theta0 = (1/m) * Σ(h(x) - y)

然后，计算代价函数对 theta1 的偏导数：

∂J/∂theta1 = (1/m) * Σ(h(x) - y) * x

# 对 theta1 进行求导# 对 thet 
def partial_cost_theta1(theta0, theta1, x, y):
    # Hypothesis
    h = theta0 + theta1*x
    # Hypothesis minus observed times x
    diff = (h - y) * x
    # Average to compute partial derivative
    partial = diff.sum() / (x.shape[0])
    return partial

partial1 = partial_cost_theta1(0, 5, pga.distance, pga.accuracy)
print("partial1 =", partial1)

# 对theta0 进行求导
# Partial derivative of cost in terms of theta0
def partial_cost_theta0(theta0, theta1, x, y):
    # Hypothesis
    h = theta0 + theta1*x
    # Difference between hypothesis and observation
    diff = (h - y)
    # Compute partial derivative
    partial = diff.sum() / (x.shape[0])
    return partial

partial0 = partial_cost_theta0(1, 1, pga.distance, pga.accuracy)
print("partial0 =", partial0)

       计算代价函数对参数theta1和theta0的偏导数。

       首先，定义了一个名为partial_cost_theta1()的函数，接受四个参数：theta0和theta1是线

性模型的参数，x是输入特征，y是目标变量。这个函数用于计算代价函数对theta1的偏导数。在函

数内部，首先计算假设值h，然后计算(h-y)*x，得到假设值与观察值之间的差异乘以输入特征x。

最后，将这些差异的和除以输入特征的数量，得到对theta1的偏导数。然后，通过调用

partial_cost_theta1()函数并传入参数0和5，计算出对应的偏导数partial1。

        接下来，定义了一个名为partial_cost_theta0()的函数，接受四个参数：theta0和

theta1是线性模型的参数，x是输入特征，y是目标变量。这个函数用于计算代价函数对theta0的偏

导数。在函数内部，首先计算假设值h，然后计算假设值与观察值之间的差异。最后，将这些差异

的和除以输入特征的数量，得到对theta0的偏导数。然后，通过调用partial_cost_theta0()函数

并传入参数1和1，计算出对应的偏导数partial0。

6. 梯度下降

# x is our feature vector -- distance
# y is our target variable -- accuracy
# alpha is the learning rate
# theta0 is the intial theta0 
# theta1 is the intial theta1
def gradient_descent(x, y, alpha=0.1, theta0=0, theta1=0):
    max_epochs = 1000 # Maximum number of iterations 最大迭代次数
    counter = 0       # Intialize a counter 当前第几次
    c = cost(theta1, theta0, pga.distance, pga.accuracy)  ## Initial cost 当前代价函数
    costs = [c]     # Lets store each update 每次损失值都记录下来
    # Set a convergence threshold to find where the cost function in minimized
    # When the difference between the previous cost and current cost 
    #        is less than this value we will say the parameters converged
    # 设置一个收敛的阈值 (两次迭代目标函数值相差没有相差多少,就可以停止了)
    convergence_thres = 0.000001  
    cprev = c + 10   
    theta0s = [theta0]
    theta1s = [theta1]

    # When the costs converge or we hit a large number of iterations will we stop updating
    # 两次间隔迭代目标函数值相差没有相差多少(说明可以停止了)
    while (np.abs(cprev - c) > convergence_thres) and (counter < max_epochs):
        cprev = c
        # Alpha times the partial deriviative is our updated
        # 先求导, 导数相当于步长
        update0 = alpha * partial_cost_theta0(theta0, theta1, x, y)
        update1 = alpha * partial_cost_theta1(theta0, theta1, x, y)

        # Update theta0 and theta1 at the same time
        # We want to compute the slopes at the same set of hypothesised parameters
        #             so we update after finding the partial derivatives
        # -= 梯度下降，+=梯度上升
        theta0 -= update0
        theta1 -= update1
        
        # Store thetas
        theta0s.append(theta0)
        theta1s.append(theta1)
        
        # Compute the new cost
        # 当前迭代之后，参数发生更新  
        c = cost(theta0, theta1, pga.distance, pga.accuracy)

        # Store updates，可以进行保存当前代价值
        costs.append(c)
        counter += 1   # Count
        
    # 将当前的theta0, theta1, costs值都返回去
    return {'theta0': theta0, 'theta1': theta1, "costs": costs}

print("Theta0 =", gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy)['theta0'])
print("Theta1 =", gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy)['theta1'])
print("costs =", gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy)['costs'])

descend = gradient_descent(pga.distance, pga.accuracy, alpha=.01)
plt.scatter(range(len(descend["costs"])), descend["costs"])
plt.show()

 

       使用梯度下降法求解线性回归模型中的偏导数以及更新参数的过程。其中，gradient_descent

函数接受输入特征 x 和观测值 y，以及学习率 alpha、初始参数 theta0 和 theta1。在函数中，设

置了最大迭代次数 max_epochs 和收敛阈值 convergence_thres，用于控制算法的停止条件。初始

时，计算了初始的代价函数值 c，并将其存储在 costs 列表中。

       在迭代过程中，使用偏导数的公式进行参数更新，即 theta0 -= update0 和 theta1 -=

update1。同时，计算新的代价函数值 c，并将其存储在 costs 列表中。最后，返回更新后的参数

值 theta0 和 theta1，以及代价函数值的变化过程 costs。

       最后，调用了 gradient_descent 函数，并打印了最终的参数值和代价函数值。然后，绘制了

代价函数值的变化过程图。