Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

Gauss-Seidel迭代法

  求解线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中$\mathbf{A}$是$n\times n$维可逆系数矩阵，$\mathbf{b}$是$n$维列向量。
  Gauss-Seidel迭代法和Jacobi迭代法的区别在于，Gauss-Seidel迭代法一旦获得新信息便立即利用。比如，先计算$x_1$的新迭代值 $$x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}}(b_i-\sum _{j=2}^n{a}_{1j}{x}_j^{(k)})，$$ 在后面计算$x_i^{(k+1)}$时就用$x_1^{(k+1)}$ 替代$x_1^{(k)}$。Gauss-Seidel迭代法的分量形式为 $$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{x}_j^{(k+1)}-\sum _{j=i+1}^n{a}_{ij}{x}_j^{(k)})。$$ 沿用Jacobi迭代法中的符号，Gauss-Seidel迭代法的矩阵表示为 $${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(\mathbf{D}+\mathbf{L}{)}^{-1}\mathbf{U}{\mathbf{x}}^{(k)}+(\mathbf{D}+\mathbf{L}{)}^{-1}\mathbf{b}。$$   定理1：若$\mathbf{A}$为严格对角占优，或不可约对角占优矩阵，则Gauss-Seidel迭代法收敛。
  定理2：若$\mathbf{A}$为Hermite正定矩阵，则Gauss-Seidel迭代法收敛。

C语言实现Gauss-Seidel迭代法

void gauss_seidel(const Matrix *A, const Matrix *b, Matrix *x, const int it)
{
	double tmp = 0;
	int r = 0, c = 0;
	for (int k = 0; k < it; k++)
	{
		for (r = 0; r < x->row; r++)
		{
			tmp = 0;
			for (c = 0; c < A->column; c++)
			{
				if (c != r)
					tmp += A->data[r * (A->column) + c] * x->data[c];
			}
			x->data[r] = (b->data[r] - tmp) / (A->data[r * (A->column) + r]);
		}
	}
}