欧拉定理的证明

欧拉定理,也被称为欧拉多项式定理,是数学上的一个定理,描述了一个多项式在复数域上的根与系数的关系。欧拉定理的表述如下:

对于一个次数为n的多项式P(x),如果它的n个根分别为a₁,  a₂,  ...,  aₙ,则有如下关系式成立:

P(x)  =  (x-a₁)(x-a₂)...(x-aₙ)  =  xⁿ  +  p₁xⁿ⁻¹  +  p₂xⁿ⁻²  +  ...  +  pₙ₋₁x  +  pₙ

其中p₁,  p₂,  ...,  pₙ为多项式P(x)的系数。

为了证明欧拉定理,我们可以利用数学归纳法。首先考虑一个一次多项式的情况,即n=1。对于一个一次多项式P(x)  =  x  -  a₁,它的根只有一个,为a₁。欧拉定理成立,因为(x  -  a₁)  =  x  -  a₁。

假设对于任意次数为k的多项式,欧拉定理都成立。即如果P(x)的根为a₁,  a₂,  ...,  aₖ,则有P(x)  =  (x-a₁)(x-a₂)...(x-aₖ)。

考虑一个次数为k+1的多项式P(x),假设它的根为a₁,  a₂,  ...,  aₖ₊₁。利用欧拉定理的假设,我们可以写出P(x)的因式分解表达式:

P(x)  =  (x-a₁)(x-a₂)...(x-aₖ)·(x-aₖ₊₁)

由于(x-a₁)(x-a₂)...(x-aₖ)也是一个次数为k的多项式,根据我们的假设,它可以写成如下形式:

(x-a₁)(x-a₂)...(x-aₖ)  =  xᵏ  +  p₁xᵏ⁻¹  +  p₂xᵏ⁻²  +  ...  +  pₖ₋₁x  +  pₖ

将这个结果代入P(x)的因式分解表达式中,可以得到:

P(x)  =  (xᵏ  +  p₁xᵏ⁻¹  +  p₂xᵏ⁻²  +  ...  +  pₖ₋₁x  +  pₖ)  *  (x-aₖ₊₁)

展开右边的乘积,可以得到:

P(x)  =  xᵏ⁺¹  +  (p₁  +  aₖ₊₁)xᵏ  +  (p₂  +  p₁aₖ₊₁)xᵏ⁻¹  +  ...  +  (pₖ₋₁  +  pₖ₋₂aₖ₊₁)x  +  pₖaₖ₊₁

可以发现,xᵏ⁺¹的系数为1,而其他x的幂次项的系数为由P(x)的系数p₁,  p₂,  ...,  pₖ₋₁,  pₖ和根a₁,  a₂,  ...,  aₖ₊₁所组成的新的系数。这证明了对于任意次数为k+1的多项式P(x),欧拉定理成立。

由数学归纳法的原理,欧拉定理对于任意次数的多项式都成立。

因此,欧拉定理得证。

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