欧拉通路及欧拉回路的概念和判断

定义

如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。
如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

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存在的判断

判断欧拉通路

• 有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
• 无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路

• 有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
• 无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

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推论

无向图G存在欧拉通路的充要条件是：

G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论1：

1. 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2. 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
3. G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：

D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。

推论2：

1. 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
2. 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
3. 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。