概率论的学习和整理--番外8：3门问题 (Monty Hall problem)

1 为什么要专门讨论3门问题

• 我以前没觉得3门问题有这么重要，但是买了一些老外写的概率书，包括很出名的普林斯顿概率论书上也举这个例子，有的概率论书好像开篇就讨论3门问题
• 这个可能跟老外，喜欢举例子，喜欢从生活中实际的问题出发来引起兴趣教学有关系
• 这个问题确实每次讨论都是很难统一意见，各种错误的认识很多。
• 对要搞清楚概率，这个问题确实得搞清楚。

2 什么是三门问题

下面这段解释来自来自百科:

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

3  正确得解题思路

3.1 树状图解题

• step1:
• 第1层，选门，door1,door2,door3 ，选择每个门的概率=1/3
• 只看选door1的分支(概率1/3)，省略选其他2个门的树枝图

• step2:
• 但是选择door1，还会有分支，condition1，condition2，condition3，这3个分支代表，事先舞台设计时，可能把羊放在不同的门后面
• 而且   P(condition1) =  P(condition2) = P(condition3) =1/9

• step3:
• 如果选择了对的，刚好是车的门，那么主持人会随便开1个羊门，概率1/18
• 如果选择了错的，选的是一个羊门，主持人只会开另外一个羊门，不可能给把车给开出来，这种概率1/9

计算概率

如果坚持之前的选择 p ,3个门均等概率为1/3，

• p(抽到车门)=1/3
• p(抽到羊门)=2/3

如果需要换门，就需要看上面的树状图（因为得到了更多的信息，换门是条件概率）

• 最后的红色表示换门了反而更差的情况，p(抽到羊门|被告知1个羊门&换门)=1/18*6=1/3
• 最后的绿色表示换门了反而更好的情况，p(抽到车门|被告知1个羊门&换门)=1/9*6=2/3

3.2 上面方法的简单思路对应方法

• 第一次选3门
• 3门均等概率，选中车的概率是1/3

• 第2论主持人干预，开了一个羊门
• 1/3的概率选车，然后主持人再去掉1个羊门，剩下的也是羊门，这时候换门就亏了
• 2/3的概率选羊，然后主持人再去掉1个羊门，剩下的就是车门，这时候换门就赚了
• 第2论主持人干预，开了一个羊门以后，重新选门有2/3的机会赚，当然重新选门

3.3 有个放大思路，有点求极限的感觉

很多人是这么看待这个问题的

• 比如3门问题，看成100门问题，100个门里1个车，99个羊
• 如果节目上，观众选1个门，主持人会把其他98个门都开出羊门（留1个门）加观众之前选的1个门，一共2个门。

第1次选择，

• p(抽到车门)=1/100
• p(抽到羊门)=99/100

第2次选择，去掉98个羊门，剩下1个羊门，1个车门

• p(抽到车门)=1/2
• p(抽到羊门)=1/2

第一次的概率1/100，重新选门的概率=1/2所以应该重新选

从而推论3门也应该重新选门

4 一些很符合直觉的错误的原因到底是什么？

4.1 概率问题，确实不能决定单局的问题

有的人说，这一局第2轮换门还是不换门，都可能失败，所以无法确定.这句话当然没错，换门后中车的概率变大，但是确实不是某一次一定中车。这种说法是完全不理解概率论导致的

• 概率其实描述的是多次进行同一个试验，某些特定目标随机变量的出现可能性，除非100% 或0 ，否则确实不能决定单局的结果。
• 概率本身描述的就是可能性的问题，不是着眼于1局试验的特定结果，每1局的结果本身就是随机的。
• 概率高只能打表赢面大，并不是代表你这次一定赢。
• 换门以后中车的概率更大了，但并不是某一次一定中车！
• 喜欢这么想的人，问他一个这样的问题，如果一个六面骰，有3个面一样都是1，总空间是{1，1，1，2，3，4} ，虽然单局可能是1，2，3，4，但是你让你选{1，2，3，4}哪个更容易赢钱，你难道不选1？

4.2  反正第2轮都是平均的，换不换都一样？

有的人认为，都是1/2 ，所以不用换

持这种想法的人，认为无论多少个门，反正最后只剩下2个，只剩下2个了就不用换

5 三门问题得语义问题---三门问题得规则问题

• 主持人的行为是最大的变数
• 1 主持人是知道答案的，
• 2 主持人是绝对不会直接开出车门的，那这样游戏就结束了，无论是否给参赛者，所以这样就排除了主持人完全不知道的可能性
• 3 主持人又没可能是纯坏的规则，也就是赌场规则，当你选中了车门，就给你开一个羊门，让你换，如果你选了羊门并不会再开1个门，这个和经典的3门问题不同

还有个贝特朗箱子问题，也是个悖论？

最简单有效的解释，就是第一次中奖概率低1/3，换门后中奖概率高1/2

最难说服的解释就是，最后反正是2个，那么换和不换都是1/2,  最后的那2张牌怎么说明是不一样的？ 因为后面那张牌 已经叠加了很多其他牌不是的概率，信息程度不同。？

变形的问题

1 如果是54张扑克，或者100个门

打开其他52张不是大王的，或者打开98个羊门的

如果只打开一半错误的呢？

52个主持人同时翻牌，都不是大王，你可以选择原来你抽的，也可以选择剩下来的哪一张未翻的。给你个机会，你换不换？

条件概率的问题

2个能不能一起看做1/2

第2轮新来一个观众选，会如何？

第1次试验，未知样本空间为3，每个事件概率=1/3

第2次试验，未知样本空间为2，每个事件概率=1/2

 

一些辅助得解题思路

变成99，甚至999

还有的说法，认为参赛者知道规则，从一开始就知道是2选1，不存在1/3

一些错误的观点为什么错

一些计算过程为什么错

放大的思想是对的

反直觉

很多错误的辨析，为什么会错

三门问题_百度百科

三门问题—概率奇妙多 - 知乎

百度安全验证

 baijiahao.baidu.com/s?id=1708934206005971448&wfr=spider&for=pc

蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？ - 知乎

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1688039471342212010&wfr=spider&for=pc

网上有个人写的3门问题，这个和哪个不一样，是因为 玩家选的，和排除后的1个，并不相等