Log_x

Algorithm Review 7 组合数学

组合数学

$n$ 个无标号小球放入 $m$ 个无标号盒子中，设答案为 $f_{n,m}$ ，转移即讨论第一个盒子是否放球：
$f_{0,i} = 1, f_{i,j} = f_{i,j - 1} + f_{i - j, j}$
若要求每个盒子中至少放一个，则答案为 $f_{n - m,m}$ ，枚举 $m$ 求和即 分拆数。
结论1 $\sum \limits_{i = 0}^{m} \binom{k + i}{k} = \binom{k + m + 1}{k + 1}$

$\begin{aligned} \sum \limits_{i = 0}^{m} \binom{k + i}{k} &= \binom{k + 1}{k + 1} + \binom{k + 1}{k}+\sum\limits_{i = 2}^{m}\binom{k + i}{k} \\ &= \binom{k + 2}{k + 1} + \binom{k+2}{k} + \sum\limits_{i = 3}^{m}\binom{k + i}{k} \\ &= \dots \\ &= \binom{k + m + 1}{k + 1}\\ \end{aligned}$

结论2 对于斐波拉契数列 $F_n(F_0 = 0,F_1=1, F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2})$ ，有：
$F_n = \sum \limits_{k = 0}^{n - 1}\binom{n - 1 - k}{k}$

证明易知 $F_0 = 0,F_1 = 1$ ，对于 $n\ge 2$ ，考虑归纳证明
$\begin{aligned} F_{n} &= F_{n - 1} + F_{n - 2} \\ &= \binom{n - 2}{0} + \sum \limits_{k = 1}^{n - 2}\binom{n - 2 - k}{k} + \sum \limits_{k = 1}^{n - 2}\binom{n - 2 - k}{k - 1} \\ &= \binom{n - 1}{0} + \sum \limits_{k = 1}^{n - 2}\binom{n - 1 - k}{k} + \binom{0}{n - 1} \\ &= \sum \limits_{k = 0}^{n - 1}\binom{n - 1 - k}{k} \\ \end{aligned}$
范德蒙德卷积 $\sum \limits_{i = 0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k - i} = \binom{n+m}{k}$
- 推论1 $\sum \limits_{i = 0}^{\min\{n,m\}}\binom{n}{i}\binom{m}{i} = \binom{n+m}{n} = \binom{n + m}{m}$ （利用 $\binom{n}{i} = \binom{n}{n - i}$ ）。
- 推论2 $\sum \limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}\binom{m}{i+k} = \sum \limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{n - i}\binom{m}{i+k} = \binom{n + m}{n + k}$

鸽巢原理

将 $n + 1$ 个物体，划分为 $n$ 组，至少有一组有两个或以上的物体。
将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，至少存在一个分组，含有至少 $\lceil \frac{n}{k} \rceil$ 个物体。

典例 2022牛客多校10I

题目大意

给定数组 $a, b$ ，长度分别为 $n, m$ ，询问能够找到一组 $i, j, k, l$ ，满足 $i\not = j,k\not = l,|a_i - a_j| = |b_k - b_l|$ 。
$\le n, m\le 10^6, 0 \le a_i,b_i\le 10^7$ 。

题解

若 $a, b$ 均有重复元素，显然有解，否则将 $a, b$ 排序后去重。
原式去掉绝对值后移项可变为 $a_i + b_l = a_j + b_k$ ，由鸽巢原理， $a_j + b_k$ 的值两两不同的情况最多只有 $\times 10^7$ 种，暴力枚举即可。

Ramsey 数

定义 $r (m, n)$ 表示满足以下条件的完全图的最少点数 $n$ ：
- 将图的所有边染为红蓝两种颜色之一。
- 无论如何染色，图中至少存在一个边全为红色的 $K_m$ 或者边全为蓝色的 $K_n$ 。
由定义可知 $r (n, m) = r (m, n), r (1, n) = 1$ 。
利用鸽巢原理容易证明 $r(3,3)\le 6$ ， $r (3, 3) > 5$ 的反例如下图，实际上任取一个五元环即可。
可以证明 $r (2, n) = n$ ：
- 证明 $r (2, n) > n - 1$ ，显然我们可以将 $K_{n - 1}$ 的所有边都染成蓝色而符合条件。
- 证明 $\le n$ ，显然 $K_n$ 所有边全为蓝色和其中至少存在一个边全为红色的 $K_2$ ，两个条件总是至少有一个成立。
结论 $\le r(n-1,m)+r(n,m-1)$

证明设 $p = r (n - 1, m) + r (n, m - 1)$ ，任取 $p$ 个点中的一个点 $x$ ，设 $R_x$ 表示与 $x$ 相连的边均为红色的点集， $B_x$ 表示与 $x$ 相连的边均为蓝色的点集，易知 $R_x| + |B_x| = p - 1$ 。

由鸽巢原理，一定存在以下两个条件之一成立：

$|R_x| \ge r(n - 1,m)$

$|B_x| \ge r(n, m - 1)$

对于条件 1，在 $R_x$ 中任取 $r (n - 1, m)$ 个点，由 $r (n - 1, m)$ 的定义至少存在一个边全为红色的 $K_{n - 1}$ 或边全为蓝色的 $K_{m}$ 。若存在一个边全为蓝色的 $K_m$ ，证明已经完成；若存在一个边全为红色的 $K_{n - 1}$ ，将 $x$ 加入即可得到边全为红色的 $K_n$ 。

对于条件2，同理可证。

推论若 $r (n - 1, m)$ 和 $r (n, m - 1)$ 均为偶数，则 $\le r(n - 1,m) + r(n,m-1) - 1$

证明沿用结论中证明的定义，此时 $R_x| + |B_x| = p - 2$ 。

由鸽巢定理，一定存在以下三个条件之一成立：

$|R_x| \ge r(n - 1,m)$

$|B_x| \ge r(n, m - 1)$

$R_x| = r(n - 1,m) - 1$ 且 $B_x| = r(n, m - 1) - 1$

前两个条件已经被证明，该推论可能不成立当且仅当对于所有点都满足条件 3，然而若所有点都满足条件 3 时由握手定理，图中的红边总数为 $\frac{(r(n - 1,m) - 1)(p - 1)}{2}$ ，由奇偶性该式一定不为整数，故至少存在一个点不满足条件 3。

部分 Ramsey 数的证明：
- $r (3, 4) = 9$
  - 由推论可知 $\le r(2,4) + r(3,3) - 1 \le 4 + 6 - 1 = 9$ ，以下是证明 $r (3, 4) > 8$ 的例子：
  - 记中间四条红边为特殊边。对于边全为红色的 $K_3$ ，容易验证不含或只含一条特殊边的红环边数均大于3，而若含两条及以上特殊边，因为特殊边间没有公共点，肯定不会形成三元环。对于边全为蓝色的 $K_4$ ，
    我们需要保证选到的点中不存在两点是一条特殊边的两个端点，但此时一定会存在两点在除特殊边外的红八元环上相邻。
- $r (3, 5) = 14$
  - 由推论可知 $\le r(2,5) + r(3,4) = 5 + 9 = 14$ ，下面是证明 $r (3, 5) > 13$ 的例子：
    - 构造 13 个结点，标号 $0\sim 12$ 。
    - 设 $A = \{1,5,8,12\}$ ， $(i, j)$ 为红色当且仅当 $\in A$ 。
  - 首先肯定不会边全为红色的 $K_3$ ，因为集合 $A$ 中任意两个元素之和均不属于 $A$ 。
  - 注意到该构造的定义实际上是对称的，将一个 13 元环所有距离属于集合 $A$ 的点对相连，故若存在至少一个边全为蓝色的 $K_5$ ，一定存在一个边全为蓝色的 $K_5$ 包含结点 0。
  - 对剩下选取的结点进行分类讨论，不难排除所有可能的方案。
结论2 $r (n, m) > (n - 1) (m - 1)$

证明构造一个 $n - 1$ 行 $m - 1$ 列的点阵，同行的点之间连红边，否则连蓝边，显然图中不存在边全为红色的 $K_{n - 1}$ 和边全为蓝色的 $K_{m - 1}$ 。

将 Ramsey 数的概念推广到 $k$ 染色，不难得到 $r(x_1,x_2,\dots,x_k)$ 的定义。
结论3 $r(x_1,x_2,\dots,x_k) \le r(x_1,x_2,\dots,x_{k-2},r(x_{k - 1},x_k))$

证明根据定义讨论即可。

Sum-Free 划分 将集合 $\{1,2,\dots,n\}$ 划分成 $k$ 个集合，使得每个集合中不存在两个数 $x, y$ （ $x$ 和 $y$ 可相等），使得 $x + y$ 也在这一集合中。
结论4 设 $s_k$ 表示关于参数 $k$ 最小的不能进行 Sum-Free 划分 的 $n$ ，则 $s_k < r(3,\dots,3)(k个3)$

证明设 $r(3,\dots,3)(k个3)$ ，将 $\{1,2,\dots,X-1\}$ 划分成 $k$ 个集合 $R_1,R_2,\dots,R_k$ ，对于任意结点编号 $i,j\in\{1,2,\dots,X\}$ ，若 $j|\in R_l$ ，则将 $(i, j)$ 染为颜色 $l$ ，由 $X$ 的定义图中至少存在一个边同色的 $K_3$ ，设编号为 $，则有 ∣ j - i ∣ + ∣ k - j ∣ = ∣ k - i ∣ ，与 Sum-Free 划分的定义矛盾。$

二项式反演

结论给定 $\in \mathbb N$ ，则存在以下关系式
$g_k = \sum \limits_{i = k}^{n} \binom{i}{k}f_i \Leftrightarrow f_k = \sum \limits_{i = k}^{n} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}g_i$

证明
$\begin{aligned}\sum \limits_{i = k}^{n} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}g_i &= \sum \limits_{i = k}^{n}(-1)^{i - k} \binom{i}{k} \sum \limits_{j = i}^{n} \binom{j}{i} f_j \\&= \sum \limits_{j = k}^{n} f_j\sum \limits_{i = k}^{j} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}\binom{j}{i}\\&= \sum \limits_{j = k}^{n} f_j\sum \limits_{i = k}^{j} (-1)^{i - k} \binom{j}{k}\binom{j - k}{i - k}\\&= \sum \limits_{j = k}^{n} \binom{j}{k} f_j \sum \limits_{i = 0}^{j - k} (-1)^{i} \binom{j - k}{i}\\&= \sum \limits_{j = k}^{n} \binom{j}{k} f_j (1 - 1)^{j - k}\\&=\sum \limits_{j = k}^{n}\binom{j}{k}f_j[j = k] =f_k \end{aligned}$

第二类斯特林数

记作 $S (n, k)$ 或者 $\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空子集的方案数。
易知 $\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix} = [n = 0], \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n - 1\\k- 1\end{Bmatrix} + k\begin{Bmatrix}n - 1\\k\end{Bmatrix}$ 。
结论长度为 $n$ 且最大数不超过 $m$ 的单调不降正整数数列的各数乘积之和为 $\begin{Bmatrix}n+m\\m\end{Bmatrix}$ 。

证明相当于将 $n + m$ 个不同的球放入 $m$ 个相同的盒子中，每个球至少有一个球。可将放入每个球的过程分为选择一个有球/无球的盒子和放入两步，则需要选择一个有球盒子的球恰好有 $n$ 个，第 $i$ 个选择有球盒子的球选择的方案数为当前有球的盒子数，可等价为数列中的第 $i$ 个数。

快速计算一整行的第二类斯特林数

设 $G_{n,k}$ 为将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个两两不同（允许为空）的集合的方案数， $F_{n,k}$ 为将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个两两不同的非空集合的方案数，由容斥原理得：
$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = \frac{F_{n,k}}{k!} = \frac{1}{k!}\sum\limits_{i = 0}^{k}(-1)^{k - i}\binom{k}{i}G_{n,i} = \sum\limits_{i = 0}^{k}\frac{(-1)^{k - i}}{(k - i)!} \frac{i^n}{i!}$
显然是卷积的形式。

快速计算一整列的第二类斯特林数

由于非空集合的限制，设指数型生成函数 $\sum \limits_{i\ge 1}\frac{x^i}{i!}$ ，则
$\begin{Bmatrix} i\\k\end{Bmatrix} = \frac{i!}{k!}[x^i]H^k(x)$
通过多项式快速幂计算即可。

次幂的拆解

因为
$G_{n,k} = \sum \limits_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} F_{n,i} \\ k^n = \sum \limits_{i = 0}^{\min\{k,n\}} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \binom{k}{i} i!$
若 $n$ 比较小，就能实现将 $k^n$ 拆开后分项计算。

第一类斯特林数

记作 $s (n, k)$ 或者 $\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}$ ，表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个互不区分的非空轮换的方案数。
易知 $\begin{bmatrix}n\\0 \end{bmatrix} = [n = 0], \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}n - 1\\k - 1\end{bmatrix} + (n - 1)\begin{bmatrix} n - 1 \\ k\end{bmatrix}$ 。
设生成函数 $F_n(x) = \sum \limits_{k = 0}^{n} \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k$ ，根据递推式不难写出
$F_n(x)=xF_{n-1}(x)+(n-1)F_{n-1}(x)=(x+n-1)F_{n-1}(x)=\prod\limits_{i=0}^{n -1}(x+i)$
容易通过分治 NTT 求出。

上升幂、下降幂、普通幂的相互转化

记上升幂 $x^{\overline{n}}=\prod\limits_{i = 0}^{n-1}(x+i)$ ，下降幂 $x^{\underline{n}} = \prod\limits_{i = 0}^{n-1}(x-i) = \frac{x!}{(x-n)!} = A_{x}^k$ ，容易根据定义得到：
$(-x)^{\overline{n}} = \prod \limits_{i = 0}^{n - 1}(-x+i)=(-1)^n\prod\limits_{i = 0}^{n - 1}(x-i)=(-1)^nx^{\underline{n}}\\ (-x)^{\underline{n}} = \prod \limits_{i = 0}^{n - 1}(-x-i)=(-1)^n\prod\limits_{i = 0}^{n - 1}(x+i)=(-1)^nx^{\overline{n}}$
关于两者与普通幂之间的转换有如下结论，证明过程以顺序编号（1）~（4）指代：
$x^{\overline{n}} = \sum \limits_{k = 0}^{n}\begin{bmatrix} n\\k\\\end{bmatrix}x^k\tag{1}\\$ $x^n = \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\begin{Bmatrix} n\\k\\\end{Bmatrix}x^{\overline{k}}\tag{2}\\$ $x^n = \sum \limits_{k = 0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k\\\end{Bmatrix}x^{\underline{k}}\tag{3}\\$ $x^{\underline{n}} = \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\begin{bmatrix} n\\k\\\end{bmatrix}x^{k}\tag{4}\\$

证明（1）已经在 第一类斯特林数 一节内容中用生成函数证明，考虑到：
$(-x)^{\overline{n}} =(-1)^nx^{\underline{n}}= \sum \limits_{k = 0}^{n}(-1)^k\begin{bmatrix} n\\k\\\end{bmatrix}x^k$ 移项后即可得到（4）。
（3）容易根据 $x^{\underline{k}}$ 和 $x^n$ 的组合意义得到，利用类似的技巧，可以得到：
$(-x)^n = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n\\k\\\end{Bmatrix}(-x)^{\underline{k}} = \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^k\begin{Bmatrix} n\\k\\\end{Bmatrix}x^{\overline{k}}$ 整理移项后即可得到（2），证毕。

贝尔数

设 $B_n$ 表示基为 $n$ 的集合的划分数目，则 $B_n = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}$ 。
考虑第 $n$ 个元素归属的划分， $B_n$ 有递推公式：
$B_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}\binom{n - 1}{i}B_i = (n - 1)!\sum\limits_{i = 0}^{n - 1}\frac{B_i}{i!} \frac{1}{(n - 1 - i)!}$
可以通过分治 NTT 快速求得 $B_i(1 \le i \le n)$ 。
另外，沿用第二类斯特林数中 $H (x)$ 的定义， $\text{exp}\ H(x) = \sum\limits_{i\ge 0}\frac{H^i(x)}{i!}$ 即为贝尔数的生成函数，也可通过这一方式来计算。

卡特兰数

通项公式 $h_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n+1}=\frac{C^{n}_{2n}}{n+1}=\frac{(2n)!}{n!(n +1)!}$
- 在平面直角坐标系上，每一步只能往上走或往右走，从 $(0, 0)$ 走到 $(n, n)$ 并且两个端点外不接触直线 $y = x$ 的路线数量为 $2h_{n - 1}$ ，不跨过直线 $y = x$ 的路线数量为 $h_n$ ，证明过程即通项公式的证明。
递推公式 $h_0 = h_1 = 1$ ， $h_n = \frac{(4n - 2)h_{n - 1}}{n+1}$ ， $h_n=\sum\limits_{i=0}^{n - 1}h_ih_{n-i-1}$
- 入栈顺序为 $1,2,\dots,n$ ，合法出栈顺序的方案数为 $h_n$ 。
- 考虑枚举最后一个出栈的元素为 $k$ ，则小于 $k$ 的元素必定在 $k$ 入栈之前出栈，大于 $k$ 的元素必定在 $k$ 出栈之前出栈，可证得该递推式。
相关问题
- $n$ 对括号的合法匹配数为 $h_n$ 。
- $n$ 个节点构成的不同二叉树的数量为 $h_n$ 。
- 圆上 $2 n$ 个点，两两配对连线不相交的方案数为 $h_n$ 。
- $n$ 条边的凸多边形三角剖分划分方案数 $h_{n - 2}$ （枚举其中一条边对应的三角剖分）。

分拆数

令 $f_n$ 表示将 $n$ 进行分拆的方案数。
例如， $1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 2 + 2 = 4$ ，所以 $f_4 = 5$ 。
下面给出几种常见的计算 $f_i(1 \le i \le n)$ 的方法。

根号分治

设 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ 。
对于 $> S$ 的数，设 $g_{i,j}$ 表示选了 $i$ 个数总和为 $i (S + 1) + j$ 的方案数，转移有两种：
1. 新加入一个数，初始值为 $S + 1$ ： $g_{i,j} += g_{i - 1, j}$ 。
2. 给之前选的所有数 +1： $g_{i,j} += g_{i,j - i}$ 。
第一维只有 $\mathcal O( \sqrt{n})$ 级别，时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$ 。
求出 $> S$ 的数的 $\text{DP}$ 数组后，对于 $\le S$ 的数，直接完全背包即可，总的时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$ 。

	s = sqrt(n);
	g[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= s; ++i)
		for (int j = 0, jm = n - i * (s + 1); j <= jm; ++j)
		{
			if (j >= i)
				add(g[j], g[j - i]);
			add(f[i * (s + 1) + j], g[j]);
		}
	f[0] = 1; 
	for (int i = 1; i <= s; ++i)
		for (int j = i; j <= n; ++j)	
			add(f[j], f[j - i]);

生成函数

令 $f_0 = 1$ ，考虑 $f_i$ 的生成函数：
$\begin{aligned}F(x) &= \sum \limits_{i = 0}^{\infty}f_ix^i \\&= \prod \limits_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^i}\\&= \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty} \ln \frac{1}{1-x^i}\right)\\\end{aligned}$
注意到：
$\begin{aligned}(\ln \frac{1}{1 - x^i})' = (1 - x^i)\left(\frac{1}{1 - x^i}\right)' \Leftrightarrow\ \ln \frac{1}{1 - x^i} =& \int (1 - x^i)\left(\frac{1}{1 - x^i}\right)' dx\\=& \sum \limits_{j = 1}^{\infty}x^{ij} - \sum \limits_{j = 2}^{\infty}\frac{j - 1}{j}x^{ij}\\=& \sum \limits_{j = 1}^{\infty}\frac{x^{ij}}{j}\\\end{aligned}$
所以
$\begin{aligned}F(x) = \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty}\sum \limits_{j = 1}^{\infty} \frac{x^{ij}}{j}\right)\\\end{aligned}$
可以 $\mathcal O(n \ln n)$ 预处理出内部系数，再 $\exp$ 回去，总时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$ 。

五边形数定理

即函数 $\varPhi(x)$ 满足：
$\begin{aligned}\varPhi(x) = \prod \limits_{i = 1}^{\infty} (1 - x^i) = \sum \limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^kx^{\frac{k(3k - 1)}{2}}\end{aligned}$
具体证明见 visit_world博客中的证明。
由于 $\varPhi(x)F(x) = 1$ ，可以直接多项式求逆，时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$ 。
注意到 $\varPhi(x)(\mod x^{n + 1})$ 中系数不为 $0$ 的项只有 $\mathcal O(\sqrt{n})$ 个，也可以暴力进行求逆，时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$ 。

高阶前缀和

考虑一个序列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ ，设 $f (i, j)$ 表示序列 $a$ 中求 $j$ 次前缀和后 $a_i$ 中包含多少个 $a_1$ ，显然 $\forall i \ge 1, f(i,1) = f(1,i) = 1$ ，容易得到转移： $f (i, j) = f (i, j - 1) + f (i - 1, j)$
利用坐标变换 $\begin{cases}x = i + j - 2\\y = j - 1 \\\end{cases}$ 得到 $g (x, y) = f (i, j)$ ，容易得到转移： $g (x, y) = g (x - 1, y - 1) + g (x - 1, y)$
容易验证 $\binom{x}{y}$ ，即 $\forall i \ge 1,j\ge 1,f(i,j) = \binom{i + j - 2}{j - 1}$ 。

高阶差分

与组合数的关系

定义 $\Delta^{p}h(n)$ 表示序列 $h$ 经过 $p$ 次差分后第 $n$ 项的值，即
$\Delta^{p + 1}h(n - 1) = \Delta^ph(n)-\Delta^ph(n-1) \\\Delta^0h(n) = h(n)$
结论1 可通过归纳法证明，若 $\sum \limits_{i = 0}^pa_in^i$ ，则 $\Delta^{p+1}h(n)$ 恒为 0。
结论2 若 $\forall i\not = p,\Delta^ih(0)=0$ 且 $\Delta^ph(0) = 1$ ， $h (n)$ 为 $n$ 的 $p$ 次多项式，则 $\binom{n}{p}$ 。

证明容易得到 $\forall 0 \le i < p，h(i)=0$ 且 $h (p) = 1$ ，可设 $c\prod\limits_{i=0}^{p - 1}(n-i)$ 代入 $h (p) = 1$ ，解得 $\frac{1}{p!}$ ，即 $\binom{n}{p}$ 。
结论3 根据结论 1 并推广结论 2，已知 $\Delta^ih(0)(0\le i\le p)$ 且 $h (n)$ 为 $n$ 的 $p$ 次多项式，则： $\sum \limits_{i=0}^{p}\binom{n}{i}\Delta^ih(0)$ 该结论可用于快速求一些数列的通项。

区间加等差数列

首项的贡献很容易计算，考虑公差的贡献，将其差分两次后得到：

0	$d$	$2 d$	$\dots$	$n d$	0	0	0
0	$d$	$d$	$\dots$	$d$	$- n d$	0	0
0	$d$	0	$\dots$	0	$- (n + 1) d$	$n d$	0

每次操作打上标记后，最后求两次前缀和即可（注意不要把 $n d$ 遗漏，其它高阶差分问题也要注意这样的边界问题）。

二维矩阵差分

设 $\Delta h(i,j) = h(i,j) - h(i - 1,j) - h(i,j - 1) + h(i - 1, j - 1)$ 。
倘若我们需要给一个矩阵的某个子方矩阵打上下面这样的标记：
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & d & d & d & \dots & d & 0\\ 0 & d & 2d & 2d & \dots & 2d & 0\\ 0 & d & 2d & 3d & \dots & 3d & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & d & 2d & 3d & \dots & nd & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \end{matrix}$
做一次二维矩阵差分后，可得到：
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0 & \dots & 0 & -d\\ 0 & 0 & d & 0 & \dots & 0 & -d\\ 0 & 0 & 0 & d & \dots & 0 & -d\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & d & -d\\ 0 & -d & -d & -d & \dots & -d & nd\\ \end{matrix}$
通过对行、列、主对角线分别差分最后把标记合并即可。
类似地，倘若我们需要给一个矩阵的某个子方矩阵打上下面这样的标记：
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & d & d & d & \dots & d & 0\\ 0 & d & 3d & 3d & \dots & 3d & 0\\ 0 & d & 3d & 6d & \dots & 6d & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & d & 3d & 6d & \dots & \frac{n(n + 1)}{2}d & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \end{matrix}$
做一次二维矩阵差分后，可得到：
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0 & \dots & 0 & -d\\ 0 & 0 & 2d & 0 & \dots & 0 & -2d\\ 0 & 0 & 0 & 3d & \dots & 0 & -3d\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & nd & -nd\\ 0 & -d & -2d & -3d & \dots & -nd & \frac{n(n + 1)}{2}d\\ \end{matrix}$
通过对行、列、主对角线分别做区间加等差数列的差分，最后把标记合并即可。

【教程4＞第7章＞第26节】基于FPGA的RS(204,188)译码verilog实现10——RS译码模块整体实现与性能仿真评估 fpga和matlab #第7章·通信—信道编译码 fpga开发 RS verilog RS译码教程4
本课程学习成果预览目录1.软件版本2.RS译码模块整体实现介绍2.1伴随式计算（SyndromeCalculation）2.2擦除位置处理（ErasureHandling）2.3多项式乘法（PolynomialMultiplication）2.4欧几里得算法（EuclideanAlgorithm）2.5钱搜索（ChienSearch）3.RS译码模块整体FPGA实现4.RS译码仿真测试5.视频操作
从0实现llama3 讨厌编程但喜欢LLM的学院派人工智能 python 开发语言深度学习机器学习 pytorch
分享一下从0实现llama的过程流程如下：word-->embeddinglayer-->n*decoderlayer-->finallinearlayer-->output分词器在embedding之前，需要进行分词，将句子分成单词。llama3采用了基于BPE算法的分词器。这个链接实现了一个非常简洁的BPE分词器简易分词器实现BPE分词器（选看）1)训练tokenizer词汇表并合并给定文本，
强人工智能是否会诞生于现在的AI之中一花·一叶人工智能语言模型
为什么我认为当前AI方法无法实现真正的人工智能？随着大模型的发展日新月异，越来越多的人开始相信我们正在接近通用人工智能（AGI）。然而，作为一名人工智能领域的算法工程师，我反而越来越确信：现有的技术路径——以Transformer为核心的深度神经网络，可能已经达到了它的能力上限。我们或许正站在一个新时代的门槛上：真正的强人工智能将不会诞生于现有的范式中，而需要一条全新的算法路径。Transform
字节跳动抖音电商2-2 算法 20220331 史上最强的弟子字节面试算法算法字节
题目：////n==nums.length//1<=n<=104//0<=nums[i]<=n//nums中的所有数字都独一无二//给定一个包含[0,n]中n个数的数组nums，找出[0,n]这个范围内没有出现在数组中的那个数。//输入：nums=[3,0,1]//输出：2//解释：n=3，因为有3个数字，所以所有的数字都在范围[0,3]内。2是丢失的数字，因为它没有出现在nums中。packag
解锁数据潜能——亮数据Web数据集，精准、全面、即时程序猿追其他领域嵌入式效率性能优化科技计算机外设
解锁数据潜能——亮数据Web数据集，精准、全面、即时在数据驱动的时代，获取高质量的网络数据成为许多企业与研究机构的核心需求。亮数据推出的Web数据集产品，试图通过技术手段解决传统数据采集中的痛点，为使用者提供更高效的数据支持方案。该数据集的核心优势体现在三个维度：数据精准度、覆盖全面性和更新即时性。在精准度方面，通过动态IP网络与智能解析算法的结合，有效降低了传统爬虫常遇到的反爬干扰，使获取的数据
学习笔记-JVM GC 绝不秃头的L君学习笔记 jvm jvm.gc
1.GC分类PartialGC并不会收集整个堆空间，仅仅包括新生代和老年代，不包含永久代（元空间）。YoungGC:只收集YoungGen的垃圾收集过程。OldGC：只收集OldGen的垃圾收集过程。（只有CMS的并发收集是这个模式）MixedGC：收集整个YoungGen以及部分OldGen的垃圾收集过程。（只有G1有这个模式）FullGC收集整个堆，包括YoungGen、OldGen以及Per
AI+大数据：社交网络分析在金融风控中的完整流程 AI智能应用 AI大模型应用入门实战与进阶人工智能大数据 ai
AI+大数据：社交网络分析在金融风控中的完整流程关键词：AI、大数据、社交网络分析、金融风控、完整流程摘要：本文详细讲述了在金融风控领域运用AI和大数据进行社交网络分析的完整流程。通过通俗易懂的语言，从背景知识入手，解释核心概念，阐述算法原理，分享项目实战经验，探讨实际应用场景，推荐相关工具资源，展望未来发展趋势与挑战，旨在让读者全面了解这一复杂技术在金融风控中的应用。背景介绍目的和范围我们的目的
【学习笔记】jvm liu1251303815 学习笔记 jvm
1、jvm基础1.1什么是jvm?jvm是一种规范。jvm是一种什么样的规范？具体实现：hotspot2classFileFormat3：类加载-初始化3.1、loading加载class文件到内存中3.1.1引起类加载的情况new对象时调用静态属性，静态方法时。(访问staticfinal变量除外staticfinal修饰的是基本数据类型,或者字符串类型时,会替换为常量。比如有一个类A{stat
AUTOSAR从入门到精通-【自动驾驶】自动驾驶中的摄像头技术（二）格图素书人工智能深度学习
目录前言算法原理摄像头在自动驾驶中的作用与意义分类按通信协议区分按不同感光芯片按像元排列方式摄像头核心关键指标多传感器融合在自动驾驶中的应用▲不同自动驾驶等级的传感器配置▲L2级别▲L2+/3级别▲L4/5级别摄像头的种类与应用车载智能前视像头关键参数如何选择摄像头全车摄像头布置及功能前视摄像头环视摄像头后视摄像头侧视摄像头内置/外置后视摄像头雷达的种类与应用摄像头与雷达的数量配置产业与行业现状摄
计算机网络深度解析：HTTPS协议架构与安全机制全揭秘（2025演进版）知识产权13937636601 计算机计算机网络 https 架构
摘要2025年全球HTTPS流量占比达99.7%（W3Techs数据），本文系统剖析HTTPS协议的技术演进与安全机制。从加密算法体系（国密SM2/3/4vsRSA/ECC）、TLS1.3协议超时优化、后量子密码迁移路径三大突破切入，结合OpenSSL3.2、BoringSSL实战案例，详解协议握手时延降低80%的底层逻辑，并首次公开混合加密、证书透明度、密钥交换攻击防御等关键工程部署策略，为开发
JVM GC学习记录不会吃萝卜的兔子 JVM GC jvm 学习 java GC
垃圾标记算法：引用计数：解决不了垃圾对象循环引用问题。root扫描（可达性分析）：从根对象（线程、main函数、静态变量、常量）扫描。三色标记：黑：其下所有子树，引用均被标记完成，是存活的最终状态。灰：其下所有子树，但引用的对象尚未完全检查，是存活的过渡状态。白：对象未被标记，默认初始状态，标记结束后仍为白色的对象将被回收。标记时会STW扫描根节点，然后标记线程与业务线程并行存在；会产生情况2，业
【基于C# + HALCON的工业视系统开发实战】十七、航空级精度！涡轮叶片三维型面检测：激光扫描与CAD模型比对技术 AI_DL_CODE c#halcon 三维检测涡轮叶片点云配准型面偏差激光扫描
摘要：涡轮叶片是航空发动机的核心部件，其型面精度直接影响发动机效率与安全性。传统三坐标测量存在效率低（单叶片需40分钟）、覆盖率不足（仅检测关键截面）等问题。本文基于C#.NETCore6与HALCON24.11，构建三维型面检测系统：通过激光线扫描（每秒2000线）获取百万级点云，经MLS滤波降噪（保留0.03mm细节）与快速采样（0.1mm间隔）优化数据；采用ICP算法实现点云与CAD模型配准
Python与自动驾驶仿真平台AirSim：未来驾驶的“练兵场”如何用代码玩转现实？ Echo_Wish Python！实战！python 自动驾驶开发语言
Python与自动驾驶仿真平台AirSim：未来驾驶的“练兵场”如何用代码玩转现实？今天咱们聊聊一个非常火但又特别实用的技术方向——自动驾驶仿真。具体点，就是用Python怎么玩转微软出品的自动驾驶仿真平台AirSim。别看名字叫AirSim，实际上它不仅支持无人机，还对自动驾驶汽车的模拟提供了强大支持。自动驾驶不是科幻，背后需要海量数据、复杂算法和大量实车测试。而现实世界测试成本高、风险大，怎么
.net密码加密解密AES 步、步、为营网络服务器运维 .net
.NET中使用AES进行密码加密解密技术解析在当今数字化的时代，数据安全至关重要。密码作为保护个人和敏感信息的第一道防线，其加密和解密的安全性显得尤为重要。AES（AdvancedEncryptionStandard）作为一种广泛使用的对称加密算法，在.NET中也有着很好的支持。本文将深入探讨在.NET中如何使用AES算法进行密码的加密和解密。什么是AES算法AES，即高级加密标准，它是美国联邦政
【随机数真的是随机数吗？】￥-oriented 其他
在计算机科学中，随机数是一个非常有趣且复杂的话题。我们常常在各种应用程序中看到随机数的应用，比如游戏、加密、统计模拟等。然而，许多人可能并不清楚计算机生成的随机数到底有多“随机”。本文将详细解释程序中的随机数，探讨其生成机制以及不同类型的随机数。伪随机数与真随机数首先，我们需要明确两个关键概念：伪随机数和真随机数。伪随机数（PseudorandomNumbers）：伪随机数是由计算机算法生成的数字
强化学习【chapter0】-学习路线图明朝百晓生算法人工智能机器学习
前言：主要总结一下西湖大学赵老师的课程【强化学习的数学原理】课程：从零开始到透彻理解（完结）_哔哩哔哩_bilibili1️⃣基础阶段（Ch1-Ch7）：掌握表格型算法，理解TD误差与贝尔曼方程2️⃣进阶阶段（Ch8-Ch9）：动手实现DQN/策略梯度，熟悉PyTorch/TensorFlow3️⃣前沿阶段（Ch10：阅读论文（OpenAISpinningUp/RLlib文档）Chapter1：基
LeetCode 热题 100 - 贪心算法 - 买卖股票的最佳时机 - javascript Jxxli LeetCode hot100 leetcode 算法贪心算法 javascript
题目给定一个数组prices，它的第i个元素prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回0。示例1：输入：[7,1,5,3,6,4]输出：5解释：在第2天（股票价格=1）的时候买入，在第5天（股票价格=6）的时候卖出，
【算法系列】买卖股票的最佳时机【JS代码】 DTcode7 算法系列 #前端基础入门三大核心之JS 算法 javascript 最佳时机
【算法系列】买卖股票的最佳时机【JS代码】问题描述基本概念和作用说明解决方案暴力解法一次遍历法代码示例总结与讨论在前端开发中，虽然我们主要关注的是构建用户界面和交互逻辑，但掌握一些基本的算法和数据结构知识也是非常有用的。今天，我们就来探讨一个经典的问题：“买卖股票的最佳时机”。这个问题看似与前端开发无关，但实际上，它背后的算法思想对于优化我们的程序和解决问题有着极大的帮助。问题描述假设你有一个数组
买卖股票的最佳时机--js 算法 stoneSkySpace 算法 javascript 数据结构
一、买卖股票的最佳时机给定一个数组prices，它的第i个元素prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回0；贪心算法：每次发现更低价格立即更新买入点（minPrice）每次发现更高利润立即更新卖出收益（maxProf
使用numpy或pytorch校验两个张量是否相等
文章目录1、numpy2、pytorch做算法过程中，如果涉及到模型落地，那必然会将原始的深度学习的框架训练好的模型转换成目标硬件模型的格式，如onnx,tensorrt,openvino,tflite;那么就有对比不同格式模型输出的一致性，从而判断模型转换是否成功。1、numpy用到的核心代码就一行，就是：importnumpyasnpnp.testing.assert_allclose(act
机器学习笔记：MATLAB实践 techDM 机器学习笔记 matlab Matlab
在机器学习领域，MATLAB是一种功能强大且广泛使用的工具，它提供了许多内置函数和工具箱，方便开发者进行各种机器学习任务。本文将介绍一些常见的机器学习任务，并提供相应的MATLAB源代码示例。数据预处理在进行机器学习之前，通常需要对原始数据进行预处理。这包括数据清洗、特征选择、特征缩放和数据划分等步骤。%导入数据data=readmatrix('data.csv');%数据清洗cleaned_da
vue3学习笔记朝凡FR 其他学习笔记 vue.js 前端
目录vue3学习笔记数据绑定'v-bind'简写为':'，语法v-bind:id='变量'v-on指令通过v-on:event="method"语法工作，简写语法：@event="method"v-model绑定到你在其上设置的数据属性，并使其与````保持同步v-model修饰符.trim，将删除输入之前或之后的空格；.lazy修饰符导致v-model使用change事件代替使用自定义事件将数据
CppCon 2018 学习:A Little Order! Delving into the STL sorting algorithms 虾球xz CppCon 学习 c++排序算法
记录一下一个编译器加密的算法#include#include#include#include#include#include#includenamespacedetail{//编译期伪随机key：每个字符对应不同keytemplateconstexprstd::uint8_tkey8(){returnstatic_cast((N*31+57)^0xAA);}}//namespacedetail//
使用c++编写一段人脸识别眨眼检测的代码语嫣凝冰 c++opencv 计算机视觉图像处理开发语言
我可以给你一些大致的步骤：使用摄像头或图像文件获取视频帧。使用人脸检测算法检测视频帧中的人脸。对检测到的人脸进行眼睛检测。判断眼睛是否闭合，如果是则认为该人在眨眼。以下是一段使用OpenCV库编写的C代码示例：```#include#include#include#includeusingnamespacestd;usingnamespacecv;intmain(){//使用摄像头获取视频帧Vid
欧盟AI法案、中国《生成式AI管理办法》规范数据隐私与算法歧视 DK_Allen 大模型人工智能算法
一、全球AI治理框架：双轨并行1.欧盟《AI法案》（2025全面生效）风险等级监管要求典型场景不可接受风险全面禁止社会评分系统、实时生物识别（公共场所）高风险强制注册+第三方评估+人工监督医疗诊断、关键基础设施管理有限风险透明度披露（AI生成内容标注）聊天机器人、深度伪造最小风险无限制垃圾邮件过滤、游戏AI处罚机制：最高罚金≈全球营收6%（或3000万欧元，取较高者）典型判例：ClearviewA
学习记录：DAY35
《技术学习笔记：Swagger、SpringBoot配置与AOP实践》前言昨天熬死我了，md，舍友不睡觉搁那敲鼠标，byd哪里买的那么响的鼠标，铛铛铛把我血压都敲高了，我想找都找不到。又要在睡眠上投资了。开始调整生物钟的计划，今天很困，但是必须顶到晚上才能睡觉，再顶个一俩天就好了。byd舍友最好早点回去，不然留你和我，你看我把不把你当日本人整。日程9：00，很困，先趁着还有点状态学会习。22：42
数据库领域数据仓库的星型模型与雪花模型对比数据库管理艺术数据库专家之路大数据AI人工智能 MCP&Agent SQL实战数据库数据仓库 ai
数据库领域数据仓库的星型模型与雪花模型对比关键词：数据仓库、星型模型、雪花模型、数据建模、对比分析摘要：本文深入探讨了数据库领域数据仓库中的星型模型与雪花模型。首先介绍了数据仓库建模的背景知识，包括目的、预期读者和文档结构等。接着详细阐述了星型模型和雪花模型的核心概念、联系以及各自的架构特点，并通过Mermaid流程图进行直观展示。然后对两种模型的核心算法原理展开分析，结合Python源代码进行说
西南交通大学【机器学习实验1】
实验目的理解和掌握回归问题和分类问题模型评估方法，学会使用均方误差、最大绝对误差、均方根误差指标评估回归模型，学会使用错误率、精度、查全率、查准率、F1指标评价分类模型。实验内容给定回归问题的真实标签和多个算法的预测结果，编程实现MSE、MAE、RMSE三种评测指标，对模型进行对比分析。给定二分类问题真实标签和多个算法的预测结果，编程实现混淆矩阵评测，采用错误率、精度、查全率、查准率、F1指标对结
AWS WebRTC: 判断viewer端拉流是否稳定的算法 Jasper张 AWS WebRTC webrtc aws 服务器 linux
在使用sdk-cviewer端进行拉流的过程中，viewer端拉取的是视频帧和音频帧，不会在播放器中播放，所以要根据收到的流来判断拉流过程是否稳定流畅。我这边采用的算法是：依据相邻帧之间的时间间隔是否落在期望值的±20%范围内。音频帧、视频帧的日志打印如下：07:19:26.263VERBOSEsampleAudioFrameHandler():AudioFramereceived.TrackId
用sklearn库中的算法对数据集进行训练和auc评估（个人学习笔记） ZD困困困 python 机器学习
本文为个人学习笔记，仅供学习参考，欢迎讨论，要是有哪里写的不对或有疑问的欢迎讨论。题目：运用已给数据集进行模型训练，使用逻辑回归、决策树、随机森林和AdaBoost几个算法进行训练，并打印各个算法训练后的auc评价指标。文章目录1.导入数据集①read_csv():读取数据并以某字符分隔。②merge():合并③drop():删除行或列④tolist():将数组或矩阵转换为列表⑤train_tes
ASM系列四利用Method 组件动态注入方法逻辑 lijingyao8206 字节码技术 jvm AOP 动态代理 ASM
这篇继续结合例子来深入了解下Method组件动态变更方法字节码的实现。通过前面一篇，知道ClassVisitor 的visitMethod()方法可以返回一个MethodVisitor的实例。那么我们也基本可以知道，同ClassVisitor改变类成员一样，MethodVIsistor如果需要改变方法成员，注入逻辑，也可以
java编程思想 --内部类百合不是茶 java 内部类匿名内部类
内部类;了解外部类并能与之通信内部类写出来的代码更加整洁与优雅 1,内部类的创建内部类是创建在类中的 package com.wj.InsideClass; /* * 内部类的创建 */ public class CreateInsideClass { public CreateInsideClass(
web.xml报错 crabdave web.xml
web.xml报错 The content of element type "web-app" must match "(icon?,display- name?,description?,distributable?,context-param*,filter*,filter-mapping*,listener*,servlet*,s
泛型类的自定义麦田的设计者 java android 泛型
为什么要定义泛型类，当类中要操作的引用数据类型不确定的时候。采用泛型类，完成扩展。例如有一个学生类 Student{ Student(){ System.out.println("I'm a student....."); } } 有一个老师类
CSS清除浮动的4中方法 IT独行者 JavaScript UI css
清除浮动这个问题，做前端的应该再熟悉不过了，咱是个新人，所以还是记个笔记，做个积累，努力学习向大神靠近。CSS清除浮动的方法网上一搜，大概有N多种，用过几种，说下个人感受。 1、结尾处加空div标签 clear:both 1 2 3 4 .div 1 { background : #000080 ; border : 1px s
Cygwin使用windows的jdk 配置方法 _wy_ jdk windows cygwin
1.[vim /etc/profile] JAVA_HOME="/cgydrive/d/Java/jdk1.6.0_43" (windows下jdk路径为D:\Java\jdk1.6.0_43) PATH="$JAVA_HOME/bin:${PATH}" CLAS
linux下安装maven 无量 maven linux 安装
Linux下安装maven(转) 1.首先到Maven官网下载安装文件，目前最新版本为3.0.3，下载文件为 apache-maven-3.0.3-bin.tar.gz，下载可以使用wget命令； 2.进入下载文件夹，找到下载的文件，运行如下命令解压 tar -xvf apache-maven-2.2.1-bin.tar.gz 解压后的文件夹
tomcat的https 配置,syslog-ng配置 aichenglong tomcat http跳转到https syslong-ng配置 syslog配置
1) tomcat配置https,以及http自动跳转到https的配置 1)TOMCAT_HOME目录下生成密钥(keytool是jdk中的命令) keytool -genkey -alias tomcat -keyalg RSA -keypass changeit -storepass changeit
关于领号活动总结 alafqq 活动
关于某彩票活动的总结具体需求，每个用户进活动页面，领取一个号码，1000中的一个；活动要求 1，随机性，一定要有随机性； 2，最少中奖概率，如果注数为3200注，则最多中4注 3，效率问题，（不能每个人来都产生一个随机数，这样效率不高）； 4，支持断电（仍然从下一个开始），重启服务；（存数据库有点大材小用，因此不能存放在数据库）解决方案 1，事先产生随机数1000个，并打
java数据结构冒泡排序的遍历与排序百合不是茶 java
java的冒泡排序是一种简单的排序规则冒泡排序的原理：比较两个相邻的数，首先将最大的排在第一个，第二次比较第二个，此后一样；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个例题；将int array[]
JS检查输入框输入的是否是数字的一种校验方法 bijian1013 js
如下是JS检查输入框输入的是否是数字的一种校验方法： <form method=post target="_blank"> 数字：<input type="text" name=num onkeypress="checkNum(this.form)"><br> </form>
Test注解的两个属性：expected和timeout bijian1013 java JUnit expected timeout
JUnit4：Test文档中的解释：　　The Test annotation supports two optional parameters. 　　The first, expected, declares that a test method should throw an exception. 　　If it doesn't throw an exception or if it
[Gson二]继承关系的POJO的反序列化 bit1129 POJO
父类 package inheritance.test2; import java.util.Map; public class Model { private String field1; private String field2; private Map<String, String> infoMap
【Spark八十四】Spark零碎知识点记录 bit1129 spark
1. ShuffleMapTask的shuffle数据在什么地方记录到MapOutputTracker中的 ShuffleMapTask的runTask方法负责写数据到shuffle map文件中。当任务执行完成成功，DAGScheduler会收到通知，在DAGScheduler的handleTaskCompletion方法中完成记录到MapOutputTracker中
WAS各种脚本作用大全 ronin47 WAS 脚本
　　　http://www.ibm.com/developerworks/cn/websphere/library/samples/SampleScripts.html 　　　无意中，在WAS官网上发现的各种脚本作用，感觉很有作用，先与各位分享一下　　　获取下载这些示例 jacl 和 Jython 脚本可用于在 WebSphere Application Server 的不同版本中自
java-12.求 1+2+3+..n不能使用乘除法、 for 、 while 、 if 、 else 、 switch 、 case 等关键字以及条件判断语句 bylijinnan switch
借鉴网上的思路，用java实现： public class NoIfWhile { /** * @param args * * find x=1+2+3+....n */ public static void main(String[] args) { int n=10; int re=find(n); System.o
Netty源码学习-ObjectEncoder和ObjectDecoder bylijinnan java netty
Netty中传递对象的思路很直观： Netty中数据的传递是基于ChannelBuffer（也就是byte[]）；那把对象序列化为字节流，就可以在Netty中传递对象了相应的从ChannelBuffer恢复对象，就是反序列化的过程 Netty已经封装好ObjectEncoder和ObjectDecoder 先看ObjectEncoder ObjectEncoder是往外发送
spring 定时任务中cronExpression表达式含义 chicony cronExpression
一个cron表达式有6个必选的元素和一个可选的元素，各个元素之间是以空格分隔的，从左至右，这些元素的含义如下表所示：代表含义是否必须允许的取值范围 &nb
Nutz配置Jndi ctrain JNDI
1、使用JNDI获取指定资源： var ioc = { dao : { type :"org.nutz.dao.impl.NutDao", args : [ {jndi :"jdbc/dataSource"} ] } } 以上方法,仅需要在容器中配置好数据源,注入到NutDao即可.
解决 /bin/sh^M: bad interpreter: No such file or directory daizj shell
在Linux中执行.sh脚本，异常/bin/sh^M: bad interpreter: No such file or directory。分析：这是不同系统编码格式引起的：在windows系统中编辑的.sh文件可能有不可见字符，所以在Linux系统下执行会报以上异常信息。解决： 1）在windows下转换：利用一些编辑器如UltraEdit或EditPlus等工具
[转]for 循环为何可恨？ dcj3sjt126com 程序员读书
Java的闭包(Closure)特征最近成为了一个热门话题。一些精英正在起草一份议案，要在Java将来的版本中加入闭包特征。然而，提议中的闭包语法以及语言上的这种扩充受到了众多Java程序员的猛烈抨击。不久前，出版过数十本编程书籍的大作家Elliotte Rusty Harold发表了对Java中闭包的价值的质疑。尤其是他问道“for 循环为何可恨？”[http://ju
Android实用小技巧 dcj3sjt126com android
1、去掉所有Activity界面的标题栏　　修改AndroidManifest.xml 　　在application 标签中添加android:theme="@android:style/Theme.NoTitleBar" 2、去掉所有Activity界面的TitleBar 和StatusBar 　　修改AndroidManifes
Oracle 复习笔记之序列 eksliang Oracle 序列 sequence Oracle sequence
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2098859 1.序列的作用序列是用于生成唯一、连续序号的对象一般用序列来充当数据库表的主键值 2.创建序列语法如下： create sequence s_emp start with 1 --开始值 increment by 1 --増长值 maxval
有“品”的程序员 gongmeitao 工作
完美程序员的10种品质　　完美程序员的每种品质都有一个范围，这个范围取决于具体的问题和背景。没有能解决所有问题的完美程序员（至少在我们这个星球上），并且对于特定问题，完美程序员应该具有以下品质：　　1. 才智非凡- 能够理解问题、能够用清晰可读的代码翻译并表达想法、善于分析并且逻辑思维能力强（范围：用简单方式解决复杂问题）　　
使用KeleyiSQLHelper类进行分页查询 hvt sql .net C#asp.net hovertree
本文适用于sql server单主键表或者视图进行分页查询，支持多字段排序。KeleyiSQLHelper类的最新代码请到http://hovertree.codeplex.com/SourceControl/latest下载整个解决方案源代码查看。或者直接在线查看类的代码：http://hovertree.codeplex.com/SourceControl/latest#HoverTree.D
SVG 教程（三）圆形，椭圆，直线天梯梦 svg
SVG <circle> SVG 圆形 - <circle> <circle> 标签可用来创建一个圆：下面是SVG代码： <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1"> <circle cx="100" c
链表栈 luyulong java 数据结构
public class Node { private Object object; private Node next; public Node() { this.next = null; this.object = null; } public Object getObject() { return object; } public
基础数据结构和算法十：2-3 search tree sunwinner Algorithm 2-3 search tree
Binary search tree works well for a wide variety of applications, but they have poor worst-case performance. Now we introduce a type of binary search tree where costs are guaranteed to be loga
spring配置定时任务 stunizhengjia spring timer
最近因工作的需要，用到了spring的定时任务的功能,觉得spring还是很智能化的,只需要配置一下配置文件就可以了,在此记录一下，以便以后用到： //------------------------定时任务调用的方法------------------------------ /** * 存储过程定时器 */ publi
ITeye 8月技术图书有奖试读获奖名单公布 ITeye管理员活动
ITeye携手博文视点举办的8月技术图书有奖试读活动已圆满结束，非常感谢广大用户对本次活动的关注与参与。 8月试读活动回顾： http://webmaster.iteye.com/blog/2102830 本次技术图书试读活动的优秀奖获奖名单及相应作品如下（优秀文章有很多，但名额有限，没获奖并不代表不优秀）：《跨终端Web》 gleams：http

Algorithm Review 7 组合数学

组合数学

鸽巢原理

典例 2022牛客多校10I

题目大意

题解

Ramsey 数

二项式反演

第二类斯特林数

快速计算一整行的第二类斯特林数

快速计算一整列的第二类斯特林数

次幂的拆解

第一类斯特林数

上升幂、下降幂、普通幂的相互转化

贝尔数

卡特兰数

分拆数

根号分治

生成函数

五边形数定理

高阶前缀和

高阶差分

与组合数的关系

区间加等差数列

二维矩阵差分

你可能感兴趣的:(学习笔记,算法)