[学习笔记] Pick定理

定义

• 对于一个所有顶点均为整点的简单多边形，定义 $S$ 为这个多边形的面积，$i$ 为严格在这个多边形内部的格点数，$b$ 为在这个多边形边上的格点数，则三者满足关系式：$$S=i+\frac{b}{2}-1$$

证明

• 以下提到的所有多边形均指所有顶点均为整点的简单多边形。
• 首先考虑证明以下两条引理，则 Pick 定理显然成立：

1. 若两个只有一条公共边的多边形满足 Pick 定理，则将两个多边形去掉公共边，合并成的一个多边形也满足 Pick 定理。
2. 任意一个三角形都满足 Pick 定理。

• 考虑 引理1 的证明：

1. 设合并的两个多边形为 $P,Q$，它们的公共边上的格点数（不包括端点）为 $c$。
   $$\begin{array}{rl}S& =S_P+S_Q\\ & =i_P+i_Q-\frac{b_P+b_Q}{2}-2\\ & =i-c+\frac{b-2c-2}{2}-2\\ & =i+\frac{b}{2}-1\end{array}$$

• 引理1 得证。
• 考虑 引理2 的证明：

2. 已知面积为 1 的正方形满足 Pick 定理，由 引理1 得任意大小的矩形都满足 Pick 定理。
3. 将一个矩形拆分为两个全等的直角三角形，证明任意一个直角三角形都满足 Pick 定理。
4. 同样设两个直角三角形公共边上的格点数（不包括端点）为 $c$，原矩形为 $R$，拆分出的直角三角形为 $T$。
   $$\begin{array}{rl}{S}_T& =\frac{S_R}{2}\\ & =\frac{i_R}{2}+\frac{b_R}{4}-\frac{1}{2}\\ & =\frac{2i_T+c}{2}+\frac{2b_T-2c-2}{4}-\frac{1}{2}\\ & =i_T+\frac{b_T}{2}-1\end{array}$$
5. 那么任意一个三角形显然可以由一个矩形拆去不多于3个的直角三角形得到，由类似于证明 引理1 的方法我们也能得到：

有两个只有一条公共边的多边形，若将这两个多边形去掉公共边，合并成的一个多边形满足 Pick 定理，且这两个多边形中有一个满足 Pick 定理，则另一个多边形也满足 Pick 定理。

• 引理2 得证。