[学习笔记] Pick定理

定义

  • 对于一个所有顶点均为整点的简单多边形,定义 S S S 为这个多边形的面积, i i i 为严格在这个多边形内部的格点数, b b b 为在这个多边形边上的格点数,则三者满足关系式: S = i + b 2 − 1 S = i + \frac{b}{2} - 1 S=i+2b1

证明

  • 以下提到的所有多边形均指所有顶点均为整点的简单多边形。
  • 首先考虑证明以下两条引理,则 Pick 定理显然成立:
  1. 若两个只有一条公共边的多边形满足 Pick 定理,则将两个多边形去掉公共边,合并成的一个多边形也满足 Pick 定理。
  2. 任意一个三角形都满足 Pick 定理。
  • 考虑 引理1 的证明:
  1. 设合并的两个多边形为 P , Q P,Q P,Q,它们的公共边上的格点数(不包括端点)为 c c c
    S = S P + S Q = i P + i Q − b P + b Q 2 − 2 = i − c + b − 2 c − 2 2 − 2 = i + b 2 − 1 \begin{aligned} S &= S_P + S_Q \\ &=i_P + i_Q - \frac{b_P + b_Q}{2} - 2\\ &= i - c + \frac{b - 2c - 2}{2} - 2\\ & =i + \frac{b}{2} - 1 \\ \end{aligned} S=SP+SQ=iP+iQ2bP+bQ2=ic+2b2c22=i+2b1
  • 引理1 得证。
  • 考虑 引理2 的证明:
  1. 已知面积为 1 的正方形满足 Pick 定理,由 引理1 得任意大小的矩形都满足 Pick 定理。
  2. 将一个矩形拆分为两个全等的直角三角形,证明任意一个直角三角形都满足 Pick 定理。
  3. 同样设两个直角三角形公共边上的格点数(不包括端点)为 c c c,原矩形为 R R R,拆分出的直角三角形为 T T T
    S T = S R 2 = i R 2 + b R 4 − 1 2 = 2 i T + c 2 + 2 b T − 2 c − 2 4 − 1 2 = i T + b T 2 − 1 \begin{aligned} S_T &= \frac{S_R}{2} \\ &= \frac{i_R}{2} + \frac{b_R}{4} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{2i_T + c}{2} + \frac{2b_T - 2c - 2}{4} - \frac{1}{2} \\ &= i_T + \frac{b_T}{2} - 1\\ \end{aligned} ST=2SR=2iR+4bR21=22iT+c+42bT2c221=iT+2bT1
  4. 那么任意一个三角形显然可以由一个矩形拆去不多于3个的直角三角形得到,由类似于证明 引理1 的方法我们也能得到:

有两个只有一条公共边的多边形,若将这两个多边形去掉公共边,合并成的一个多边形满足 Pick 定理,且这两个多边形中有一个满足 Pick 定理,则另一个多边形也满足 Pick 定理。

  • 引理2 得证。

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