< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题

目录

1、堆排序

      法一:自己写堆进行排序

              时间复杂度分析

      法二:直接对数组建堆

              ①、向上调整建堆

              ②、向下调整建堆

              向上建堆和向下建堆熟优?

              升序能否建小堆?

              排序(建大堆)

2、TopK问题

        何为Topk?

        实现过程


1、堆排序

  • 假如我们有一串乱序数组,如下:

 现在想要对它进行排序,按照我们之前学过的知识,想要单纯的实现排序其实并不难,可以直接暴力排序,也可以冒泡排序,甚至使用库函数qsort进行排序……

但是,既然近期学习了堆,那么堆的一个重要应用就是进行堆排序,这里先简要提下:堆排序即快排的一种。在后面的学习中,我将为大家继续展开其它更多样的快排。今儿个就向各位浅谈下快排之一:堆排序

法一:自己写堆进行排序

  • 思路:

在上篇博文中,我们模拟实现了堆,实现后即可对一串乱序数组进行堆排序。假设我们排升序,且堆为小根堆。实现过程非常简单。

  1. 首先,把数组的每个元素(HeapPush)插入到堆中。
  2. 其次,我们深知小根堆的堆顶是最小的数字,依次遍历堆顶(HeapTop)的元素,将堆顶元素赋值到数组里,从下标0开始,赋值后删除(HeapPop)堆顶元素,++数组下标。此时堆就会重新调整,最终堆顶依旧是最小的,再重复上述赋值堆顶到数组的操作,直到堆为空(HeapEmpty)
  • 代码如下:
//堆排序 --- 升序
void HeapSort(int* a, int size)
{
//创建堆结构并初始化
	HP hp; 
	HeapInit(&hp);
//将数组元素插入堆中
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	size_t j = 0;
//依次遍历,取堆顶赋值数组,++下标,pop堆顶,依次循环,直至堆为空
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		a[j] = HeapTop(&hp);
		j++;
		HeapPop(&hp);
	}
//记得销毁动态开辟空间
	HeapDestroy(&hp);
}
int main()
{
	int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int)); //实现堆排序
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		printf("%d ", a[i]); //打印
	}
	printf("\n");
	return 0;
}
  • 效果如下:

时间复杂度分析

  • 段一:
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

此段代码的时间复杂度为O(N*logN)因为HeapPush函数的内部执行过程就是把数组的每个元素插入堆中,有N次。接着,每插入一个数据都要重新向上调整(AdjustUp)高度次以确保为堆,每个都要调整高度次,高度为logN,综上此段为O(N*logN)

  • 段二:
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		a[j] = HeapTop(&hp);
		j++;
		HeapPop(&hp);
	}

此段的时间复杂度同样为O(N*logN),原理跟上一段类似,不过多赘述。

  • 分析:

综上,时间复杂度为O(N*logN),确实比我们先前的冒泡排序O(N^2)要快不少。但是,这个方法排序是及其不好的,因为难道说为了实现堆排序还要自己手写一个完整的堆吗?这么复杂的实现堆的过程还不如不用堆排序了,这种伤敌一千,自损八百的感脚实在是难受。更何况此法的空间复杂度也是很大的,达到了惊人的O(N)。原因是实现堆的过程是动态开辟的,所以空间复杂度自然是O(N)。可不可以换一更优的方法,但同样是利用堆的思想实现快排呢?

现在我们要求如下:

  1. 依旧是堆的思想
  2. 时间复杂度O(N*logN)
  3. 空间复杂度O(1)

前面我们已经知晓,数组即为完全二叉树,为什么还要实现一个堆呢?直接把数组看作堆难道不香嘛?由此我们引出:直接对数组建堆。详解见下文:

法二:直接对数组建堆

再来看下这串乱序数组:

既然上文说到可以直接把它看作二叉树,那不妨把逻辑结构画出来看看:

 < 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第1张图片

接下来,我们就要进行建堆了,有两种方法:

  1. 使用向上建堆,插入数据的思想建堆
  2. 使用向下调整建堆

①、向上调整建堆

  • 思想:

首先,我们把第一个数字看成堆,也就是4,当第二个数字插入进去的时候,进行向上调整算法,使其确保为小堆,向上调整的算法在上篇博文已详细讲解过,不过多赘述。具体插入数据过程就是遍历数组,确保数组里每一个数进行向上调整算法

  • 画图演示:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第2张图片

  •  代码如下:
//交换
void Swap(int* pa, int* pb)
{
	int tmp = *pa;
	*pa = *pb;
	*pb = tmp;
}
//向上调整算法
void AdjustUp(int* a, size_t child)
{
	size_t parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		//if (a[child] > a[parent]) //大根堆
		if (a[child] < a[parent]) //小根堆
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = 1; i < n; i++) //应该从i=1时遍历,因为第一个数据在堆里不需要调整,后续再插入时调整
	{
		AdjustUp(a, i);
	}
}
int main()
{
	int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	return 0;
}
  •  效果如下:

 符合小堆的性质

②、向下调整建堆

  • 问题:能直接进行向下建堆吗?

答案:不能

解析:首先回顾下使用向下调整的前提是什么?必须得确保根结点的左右子树均为小堆才可,而这里,数组为乱序的,无法直接使用。

  • 解决办法:从倒数第一个非叶结点开始向下调整,从下往上调

分析:从该解决方案中,我们首先要找到这个倒数第一个非叶结点的数在哪?其实最后一个结点的父亲即为倒数第一个非叶结点。当我们找到这个非叶结点时,把它和它的孩子看成一个整体,进行向下调整。调整后,再将次父节点向前挪动,再次向下调整,依次循环下去。

  • 再回顾下父亲和孩子间的关系:
  1. leftchild = parent*2 + 1
  2. rightchild = parent*2 + 2
  3. parent = (child - 1) / 2
  • 画图解析过程:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第3张图片

  •  代码如下:
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆
	//1、向上调整
	int i = 0;
	for (i = 1; i < n; i++) //应该从i=1时遍历,因为第一个数据在堆里不需要调整,后续再插入时调整
	{
		AdjustUp(a, i);
	}
	//2、向下调整
	for (int i = (n - 1 - 1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
}
  • 效果如下:

 符合小堆的性质

向上建堆和向下建堆熟优?

  • 首先,我们画张图看下向上和向下建堆后的样子。

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第4张图片

从上图中,我们可以看出,使用不同的方式建堆最后的样子是不同的,那哪种方式好呢?

  • 接下来,我将通过时间复杂度的方式为大家解惑:以一颗满二叉树为例:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第5张图片

  •  向上建堆:

时间复杂度计算的是其调整的次数,根据上文的知识我们已经知晓其是从数组的第二个元素开始的,也就是可以理解为第二层的第一个节点。计算的思想非常简单:计算每层有多少个节点乘以该层的高度次,然后累计相加即可。如下:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第6张图片

通过计算得知:向上建堆的时间复杂度为O(N*logN)

  • 向下建堆:

向下调整我们前面已经知道它是从倒数第1个非叶节点开始调整的,每层的调整次数为,该层的节点个数*该层高度减1,一直从第1层开始调直至倒数第2层,并将其依次累加,此计算过程和向上调整差不多,都是等比*等差的求和,过程如下:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第7张图片

 通过计算得知:向下建堆的时间复杂度为O(N)

  • 对比:

通过上述计算,我们得到如下:

  1. 向上建堆:O(N*logN)
  2. 向下建堆:O(N)

由此可见,使用向下建堆的方式更优,其时间复杂度较小。当然,使用向上建堆也是可以的,只不过向下建堆更好一点。

升序能否建小堆?

  • 答案:不能

解析:

从上文我们已经知道建堆用向下建堆是比较优的,为O(N),并且建好堆后第一个位置的数字即为最小的,此时第一个数字已经确定了并且是最小的,但如若使用小堆的话,也就是需要从第二个数字开始往后看成一个堆,此时关系就全乱了,不再符合小堆的性质,此时也就意味着我们需要从第二个数字往后重新向下建堆,以确保此时的堆顶也就是数组第二个元素为次小的,并以此类推重新建堆确保第三个次小的,依次循环下去……如果这样做,还不如直接遍历选数!搞这么复杂。

  • 解决方案:升序建大堆

排序(建大堆)

  •  先看下建好大堆的样子:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第8张图片

  • 思路:

首先,得明确我们建堆后,此时堆顶就是最大的数据,现在我们把第一个数字最后一个数字交换,把最后一个数字不看做堆里的,只需要数组个数N--即可。此时的左子树和右子树依旧是大堆,再进行向下调整即可。

  • 画图解析过程:

< 数据结构 > 堆的应用 --- 堆排序和Topk问题_第9张图片

  • 代码如下:
//交换
void Swap(int* pa, int* pb)
{
	int tmp = *pa;
	*pa = *pb;
	*pb = tmp;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, size_t size, size_t root)
{
	int parent = (int)root;
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < size)
	{
		//1、确保child的下标对应的值最大,即取左右孩子较大那个
		if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]) //得确保右孩子存在
		{
			child++; //此时右孩子大
		}
		//2、如果孩子大于父亲则交换,并继续往下调整
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//向下调整建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	//大堆升序
	size_t end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}
int main()
{
	int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	return 0;
}
  •  效果如下:

2、TopK问题

何为Topk?

  • TOP-K问题:N个数里面找出最大/最小的前k个。一般情况下数据量都比较大。

比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题,我们能想到的方法有很多,如下:

  1. 排序 -- 时间复杂度:O(N*logN)。 空间复杂度:O(1) -- 要求进一步优化。
  2. 建立N个数的大堆,Pop K次,就可以找出最大的前K个 -- 时间复杂度:O(N+logN*k)。空间复杂度:O(1)
  • 问题:

有可能N非常大,以至于远大于K。比如100亿个数里面找出最大的前10个。此时上面的方法就不能用了,因为此时会导致内存不够。就好比我现在想知道100亿个整数需要多少空间?

  • 1G = 1024MB
  • 1024MB = 1024*1024KB
  • 1024*1024KB = 1024*1024*1024Byte ≈ 10亿字节
  • 一个整数4个字节,100亿个整数400亿个字节,≈40G

40个G内存根本放不下,说明100亿个整数是放在磁盘中的,也就是文件中。由此得知上述方法不得行,得寻找一个更优解。

  • 解决方案:

用前K个数建立一个K个数的小堆,然后剩下的N-K个依次遍历,如果比堆顶的数据大,就替换它进堆(向下调整),最后堆里面的K个数就是最大的K个。

  • 复杂度:
  1. 时间复杂度:O(K + logK * (N-K))
  2. 空间复杂度:O(K)

实现过程

以从1w个数里找出最大的前10个数为例:

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, size_t size, size_t root)
{
	int parent = (int)root;
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < size)
	{
		//1、确保child的下标对应的值最小,即取左右孩子较小那个
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) //得确保右孩子存在
		{
			child++; //此时右孩子大
		}
		//2、如果孩子小于父亲则交换,并继续往下调整
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
	int* kminHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	assert(kminHeap);
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		kminHeap[i] = a[i];
	}
	//建小堆
	for (int j = (k - 1 - 1) / 2; j >= 0; j--)
	{
		//从倒数第一个非叶节点开始
		AdjustDown(a, k, j);
	}
	// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则则替换
	for (int i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > kminHeap[0])
		{
			kminHeap[0] = a[i]; //如果比堆顶大,就替换
			AdjustDown(kminHeap, k, 0); //向下调整确保为堆
		}
	}
	for (int j = 0; j < k; j++)
	{
		printf("%d ", kminHeap[j]);
	}
	printf("\n");
	free(kminHeap);
}
void TestTopk()
{
	int n = 10000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 1000000; //产生一个随机数,数值均小于100万
	}
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[115] = 1000000 + 5;
	a[2335] = 1000000 + 6;
	a[9999] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;
	PrintTopK(a, n, 10);
}

int main()
{
	TestTopk();
	return 0;
}
  • 效果如下:

你可能感兴趣的:(数据结构,c语言,数据结构,堆)