【数据结构与算法】普里姆算法

普里姆算法

最小生成树

最小生成树，简称MST。

1. 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这就叫最小生成树。
2. N 个顶点，一定有 N - 1 条边
3. 半酣全部顶点
4. N - 1 条边都在图中
5. 举例说明：

求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

介绍

1. 普里姆算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有（n - 1）条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
2. 普里姆算法如下：
   1. 设 G = (V,E) 是连通网，T = (U,D) 是最小生成树，V，U是顶点集合，E，D是边的集合
   2. 若从顶点 U 开始狗仔最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 U 放入集合 U 中，标记顶点的 visited[U] = 1
   3. 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V - U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui，vj）加入集合 D 中，标记 visitedvj = 1
   4. 重复步骤 2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n - 1 条边

普里姆算法最佳实践 - 修路问题

1. 有胜利乡有 7 个村庄{A,B,C,D,E,F,G}，现在需要修路把 7 个村庄连通
2. 各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离 5 公里
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？

代码实现

public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        // 测试
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int verxs = data.length;
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {2,3,10000,10000,4,6,10000}
        };
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);
        minTree.prim(graph,0);
    }
}

// 创建最小生成树
class MinTree {
    /**
     * 创建图的邻接矩阵
     *
     * @param graph  图对象
     * @param verxs  图对应的顶点个数
     * @param data   图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 显示图的邻接矩阵
     *
     * @param graph 图对象
     */
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for (int[] link : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    /**
     * 编写 prim 算法，得到最小生成树
     *
     * @param graph 图对象
     * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        // visited 标记点是否被访问过
        int[] visited = new int[graph.verxs];

        // 把当前这个节点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        // h1 和 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始为一个大数，后面遍历的过程中，会被替换
        for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs 顶点，普里姆算法结束后，有 graph.verxs - 1 个边
            // 这个是确定每一次生成的子图，和哪个节点的距离最近
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i 节点表示被访问过的节点
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j 节点表示还没有被访问过的节点
                    if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){
                        // 替换 minWeight （寻找已经访问的节点和未访问的节点间的权值最小的边）
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            // 找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
            // 将当前找到的节点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            // 重新将 minWeight 设置为最大值
            minWeight = 10000;
        }
    }
}

class MGraph {
    int verxs; // 表示图的节点的个数
    char[] data; // 存放节点数据
    int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵

    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        this.data = new char[verxs];
        this.weight = new int[verxs][verxs];
    }
}