软件理论基础学习笔记——模态逻辑(modal logic)

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模态逻辑的语法

模态逻辑定义为：

$\varphi ::=true|p|\neg \varphi |{\varphi }_1\vee {\varphi }_2|{\varphi }_1\wedge {\varphi }_2|{\varphi }_1\to {\varphi }_2|\square \varphi |◊\varphi$

说白了就是命题逻辑再加上两个自定义的算子

看看模态逻辑多了的$\square$和$◊$，称呼为模态算子，不过这俩符号的含义和LTL中的不太一样，在模态逻辑中，$\square$读作必然(necessary)，而$◊$读作可能(possible)

这两个算子可以相互定义，其中：
$\square \varphi =\neg ◊\neg \varphi$
$◊\varphi =\neg \square \neg \varphi$

也就是说，如果$\varphi$是必然的，那么非$\varphi$是不可能的
如果$\varphi$是可能的，那么非$\varphi$是非必然的

读起来还挺绕口的，其实如果仔细想想好像还真是那么一回事儿

明天可能下雨，明天不下雨是非必然的。
明天必然天晴，明天不是天晴是不可能的。

模态逻辑的语义

LTL我们是在TS上定义的语义，在模态逻辑中，我们描述语义需要借助Kripke结构，可以回顾一下写给学生看的系统分析与验证笔记（二）——Kripke structure

在这里我们定义Kripke结构为三元组（W，R，L），W是状态的集合（不过很多地方称呼为世界，我这里沿用自己的用法），R是关系的集合，这里的R指可达关系，R(x,y)为真代表的含义是状态x与状态y是可达的，L是标签函数

模态逻辑在状态上的语义

设M=（W，R，L）是模态逻辑的一个模型，x$\in$W，$\varphi$是一个模态逻辑公式。我们用$M,x⊩\varphi$表示公式$\varphi$在状态x处为真，用$M,x⊮\varphi$表示公式$\varphi$在状态x处不为真

模态逻辑在状态上的语义可以表示为：

• $M,x⊩true$
• $M,x⊮false$
• $M,x⊩p$当且仅当$p\in L(x)$
• $M,x⊩\neg \varphi$当且仅当$M,x⊮\varphi$
• $M,x⊩{\varphi }_1\wedge {\varphi }_2$当且仅当$M,x⊩{\varphi }_1$且$M,x⊩{\varphi }_2$
• $M,x⊩{\varphi }_1\vee {\varphi }_2$当且仅当$M,x⊩{\varphi }_1$或$M,x⊩{\varphi }_2$
• $M,x⊩{\varphi }_1\to {\varphi }_2$当且仅当若$M,x⊩{\varphi }_1$则$M,x⊩{\varphi }_2$

上面的几条基本上和其他逻辑差不多，下面两条语义最为重要：

• $M,x⊩\square \varphi$当且仅当对于每个$y\in W,R(x,y)$蕴含$M,y⊩\varphi$
• $M,x⊩◊\varphi$当且仅当存在一个$y\in W,使得R(x,y)$且$M,y⊩\varphi$

根据这个语义，如果$\square \varphi$在状态x处为真，那么在x每个可达的状态上，均有$\varphi$为真
如果$◊\varphi$在状态x处为真，那么存在一个x的可达状态，使得$\varphi$为真

在语义上我们也看到，necessary $\square$这个算子在x没有除自身外的其他可达状态的情况下，也是为真的，如果除了自身外，还有其他可达状态，那么就要判断每个可达状态上是否满足$\varphi$，而possible$◊$这个算子先要判断是否有可达状态，然后判断是否存在一个可达状态满足公式$\varphi$

模态逻辑在Kripke上的语义

如果Kripke模型M中存在某个状态，使得公式$\varphi$在该状态处为真，则称$\varphi$可满足;如果$\forall x\in W$均有$M,x⊩$，则称$\varphi$在模型M中全局真，记作$M⊩\varphi$

接下来我们通过例子来实际地展示一下语义

假设我们现在有这么一个模型：

按照上面的定义，我们有：

• $M,x_1⊩q$
• $M,x_1⊩◊q$
• $M,x_1⊮\square q$
• $M,x_5⊮\square p$，且$M,x_5⊮\square q$，故$M,x⊮\square p\vee \square q$
• $M,x_5⊩\square (p\vee q)$
• $M,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6⊩\square p\to p$
• $M,x_6⊮◊\varphi$，对于任意的公式$\varphi$
• $M,x_6⊩\square \varphi$，对于任意的公式$\varphi$