软件理论基础学习笔记——模态逻辑(modal logic)
目录
- 模态逻辑的语法
- 模态逻辑的语义
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- 模态逻辑在状态上的语义
- 模态逻辑在Kripke上的语义
模态逻辑的语法
模态逻辑定义为：
ϕ : : = t r u e ∣ p ∣ ¬ ϕ ∣ ϕ 1 ∨ ϕ 2 ∣ ϕ 1 ∧ ϕ 2 ∣ ϕ 1 → ϕ 2 ∣ □ ϕ ∣ ◊ ϕ \phi::=true|p|\lnot\phi|\phi_{1}\vee\phi_{2}|\phi_{1}\wedge\phi_{2}|\phi_{1}\rightarrow\phi_{2}|\Box\phi|\Diamond\phi ϕ::=true∣p∣¬ϕ∣ϕ1∨ϕ2∣ϕ1∧ϕ2∣ϕ1→ϕ2∣□ϕ∣◊ϕ
说白了就是命题逻辑再加上两个自定义的算子
看看模态逻辑多了的 □ \Box □和 ◊ \Diamond ◊，称呼为模态算子，不过这俩符号的含义和LTL中的不太一样，在模态逻辑中， □ \Box □读作必然(necessary)，而 ◊ \Diamond ◊读作可能(possible)
这两个算子可以相互定义，其中：
□ ϕ = ¬ ◊ ¬ ϕ \Box\phi=\lnot\Diamond\lnot\phi □ϕ=¬◊¬ϕ
◊ ϕ = ¬ □ ¬ ϕ \Diamond\phi=\lnot\Box\lnot\phi ◊ϕ=¬□¬ϕ
也就是说，如果 ϕ \phi ϕ是必然的，那么非 ϕ \phi ϕ是不可能的
如果 ϕ \phi ϕ是可能的，那么非 ϕ \phi ϕ是非必然的
读起来还挺绕口的，其实如果仔细想想好像还真是那么一回事儿
明天可能下雨，明天不下雨是非必然的。
明天必然天晴，明天不是天晴是不可能的。
模态逻辑的语义
LTL我们是在TS上定义的语义，在模态逻辑中，我们描述语义需要借助Kripke结构，可以回顾一下写给学生看的系统分析与验证笔记（二）——Kripke structure
在这里我们定义Kripke结构为三元组（W，R，L），W是状态的集合（不过很多地方称呼为世界，我这里沿用自己的用法），R是关系的集合，这里的R指可达关系，R(x,y)为真代表的含义是状态x与状态y是可达的，L是标签函数
模态逻辑在状态上的语义
设M=（W，R，L）是模态逻辑的一个模型，x ∈ \in ∈W， ϕ \phi ϕ是一个模态逻辑公式。我们用 M , x ⊩ ϕ M,x\Vdash\phi M,x⊩ϕ表示公式 ϕ \phi ϕ在状态x处为真，用 M , x ⊮ ϕ M,x\nVdash\phi M,x⊮ϕ表示公式 ϕ \phi ϕ在状态x处不为真
模态逻辑在状态上的语义可以表示为：
- M , x ⊩ t r u e M,x\Vdash true M,x⊩true
- M , x ⊮ f a l s e M,x\nVdash false M,x⊮false
- M , x ⊩ p M,x\Vdash p M,x⊩p当且仅当 p ∈ L ( x ) p\in L(x) p∈L(x)
- M , x ⊩ ¬ ϕ M,x\Vdash\lnot\phi M,x⊩¬ϕ当且仅当 M , x ⊮ ϕ M,x\nVdash\phi M,x⊮ϕ
- M , x ⊩ ϕ 1 ∧ ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{1}\wedge\phi_{2} M,x⊩ϕ1∧ϕ2当且仅当 M , x ⊩ ϕ 1 M,x\Vdash\phi_{1} M,x⊩ϕ1且 M , x ⊩ ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{2} M,x⊩ϕ2
- M , x ⊩ ϕ 1 ∨ ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{1}\vee\phi_{2} M,x⊩ϕ1∨ϕ2当且仅当 M , x ⊩ ϕ 1 M,x\Vdash\phi_{1} M,x⊩ϕ1或 M , x ⊩ ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{2} M,x⊩ϕ2
- M , x ⊩ ϕ 1 → ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{1}\rightarrow\phi_{2} M,x⊩ϕ1→ϕ2当且仅当若 M , x ⊩ ϕ 1 M,x\Vdash\phi_{1} M,x⊩ϕ1则 M , x ⊩ ϕ 2 M,x\Vdash\phi_{2} M,x⊩ϕ2
上面的几条基本上和其他逻辑差不多，下面两条语义最为重要：
- M , x ⊩ □ ϕ M,x\Vdash\Box\phi M,x⊩□ϕ当且仅当对于每个 y ∈ W , R ( x , y ) y\in W,R(x,y) y∈W,R(x,y)蕴含 M , y ⊩ ϕ M,y\Vdash\phi M,y⊩ϕ
- M , x ⊩ ◊ ϕ M,x\Vdash\Diamond\phi M,x⊩◊ϕ当且仅当存在一个 y ∈ W , 使 得 R ( x , y ) y\in W,使得R(x,y) y∈W,使得R(x,y)且 M , y ⊩ ϕ M,y\Vdash\phi M,y⊩ϕ
根据这个语义，如果 □ ϕ \Box\phi □ϕ在状态x处为真，那么在x每个可达的状态上，均有 ϕ \phi ϕ为真
如果 ◊ ϕ \Diamond\phi ◊ϕ在状态x处为真，那么存在一个x的可达状态，使得 ϕ \phi ϕ为真
在语义上我们也看到，necessary □ \Box □这个算子在x没有除自身外的其他可达状态的情况下，也是为真的，如果除了自身外，还有其他可达状态，那么就要判断每个可达状态上是否满足 ϕ \phi ϕ，而possible ◊ \Diamond ◊这个算子先要判断是否有可达状态，然后判断是否存在一个可达状态满足公式 ϕ \phi ϕ
模态逻辑在Kripke上的语义
如果Kripke模型M中存在某个状态，使得公式 ϕ \phi ϕ在该状态处为真，则称 ϕ \phi ϕ可满足;如果 ∀ x ∈ W \forall x\in W ∀x∈W均有 M , x ⊩ M,x\Vdash M,x⊩，则称 ϕ \phi ϕ在模型M中全局真，记作 M ⊩ ϕ M\Vdash\phi M⊩ϕ
接下来我们通过例子来实际地展示一下语义
假设我们现在有这么一个模型：
按照上面的定义，我们有：
- M , x 1 ⊩ q M,x_{1}\Vdash q M,x1⊩q
- M , x 1 ⊩ ◊ q M,x_{1}\Vdash\Diamond q M,x1⊩◊q
- M , x 1 ⊮ □ q M,x_{1}\nVdash\Box q M,x1⊮□q
- M , x 5 ⊮ □ p M,x_{5}\nVdash\Box p M,x5⊮□p，且 M , x 5 ⊮ □ q M,x_{5}\nVdash\Box q M,x5⊮□q，故 M , x ⊮ □ p ∨ □ q M,x\nVdash\Box p\vee\Box q M,x⊮□p∨□q
- M , x 5 ⊩ □ ( p ∨ q ) M,x_{5}\Vdash\Box (p\vee q) M,x5⊩□(p∨q)
- M , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ⊩ □ p → p M,x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}\Vdash\Box p\rightarrow p M,x2,x3,x4,x5,x6⊩□p→p
- M , x 6 ⊮ ◊ ϕ M,x_{6}\nVdash\Diamond\phi M,x6⊮◊ϕ，对于任意的公式 ϕ \phi ϕ
- M , x 6 ⊩ □ ϕ M,x_{6}\Vdash\Box\phi M,x6⊩□ϕ，对于任意的公式 ϕ \phi ϕ