(分治) 剑指 Offer 16. 数值的整数次方 ——【Leetcode每日一题】

❓剑指 Offer 16. 数值的整数次方

难度：中等

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，$x^n$）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：$2^{-2}=1/2^2=1/4=0.25$

提示：

• $-100.0<x<100.0$
• $-2^{31}<=n<=2^{31}-1$
• n 是一个整数
• 要么 x 不为零，要么 n > 0 。
• $-10^4<=x^n<=10^4$

注意：本题与 50. Pow(x, n) 相同。

思路：分治

最直观的解法是将 x 重复乘 n 次，x*x*x...*x，那么时间复杂度为 $O(N)$。

因为乘法是可交换的，所以可以将上述操作拆开成两半 (x*x..*x)* (x*x..*x)，两半的计算是一样的，因此只需要计算一次。而且对于新拆开的计算，又可以继续拆开。

这就是 分治思想，将原问题的规模拆成多个规模较小的子问题，最后子问题的解合并起来。

本题中子问题是 $x^{n/2}$，在将子问题合并时将子问题的解乘于自身相乘即可。

• 但如果 n 不为偶数，那么拆成两半还会剩下一个 x，在将子问题合并时还需要需要多乘于一个 x。
  $$x^n=\{\begin{array}{rl}{x}^{n/2}\ast x^{n/2}& n\%2=0\\ x\ast (x^{n/2}\ast x^{n/2})& n\%2=1\end{array}$$

因为 $(x\ast x{)}^{n/2}$ 可以通过递归求解，并且每次递归 n 都减小一半，因此整个算法的时间复杂度为 $O(logN)$。

代码：(C++、Java)

方法一：快速幂 + 递归
C++

class Solution {
private:
    double pow(double x, long n){
        if(n == 0) return 1;
        if(n == 1) return x;
        if(n % 2 == 0) return pow(x * x, n / 2);
        return x * pow(x * x, n / 2);
    }
public:
    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n < 0 ? -(long long)n : n; 
        double ans = pow(x, N);
        return n < 0 ? 1 / ans : ans;
    }
};

Java

class Solution {
    private double pow(double x, long n){
        if(n == 0) return 1;
        if(n == 1) return x;
        if(n % 2 == 0) return pow(x * x, n / 2);
        return x * pow(x * x, n / 2);
    }
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n < 0 ? -(long)n : n; 
        double ans = pow(x, N);
        return n < 0 ? 1 / ans : ans;
    }
}

方法二：快速幂 + 迭代
C++

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        if(n == 0) return 1;
        if(n == 1) return x;
        long long N = n < 0 ? -(long long)n : n;
        double ans = 1;
        while( N != 1){
            if(N % 2 != 0) ans *= x;
            x *= x;
            N /= 2;
        }
        ans *= x;
        return n < 0 ? 1.0 / ans : ans;
    }
};

Java

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(n == 0) return 1;
        if(n == 1) return x;
        long N = n < 0 ? -(long)n : n;
        double ans = 1;
        while( N != 1){
            if(N % 2 != 0) ans *= x;
            x *= x;
            N /= 2;
        }
        ans *= x;
        return n < 0 ? 1.0 / ans : ans;
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(logn)$，即为对 n 进行二进制拆分的时间复杂度。
• 空间复杂度：$O(1)$；法一递归的函数调用会使用栈空间所以复杂度为$O(logn)$。

题目来源：力扣。

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