2023五一杯数学建模A题思路 - 无人机定点投放问题

1 赛题

A题：无人机定点投放问题

随着科学技术的不断发展，无人机在许多领域都有着广泛的应用。对于空中执行定点投放任务的无人机，其投放精度不仅依赖于无人机的操作技术，而且还与无人机执行任务时所处状态和环境有关，例如在接近投放点时无人机的高度、速度，无人机所处位置的风速、投放点周围地理环境等因素。在本题中仅考虑喷气式无人机，请查阅相关资料，研究以下问题：

问题1： 假设无人机以平行于水平面的方式飞行，在空中投放物资（物资为球形，半径20cm，重量50kg）到达地面指定位置。

（1）建立数学模型，给出无人机投放距离（投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离）与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。

（2）假设无人机的飞行高度为300m，飞行速度为300km/h，风速为5m/s，风向与水平面平行。建立数学模型，分别给出无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）、相反（夹角为180度）、垂直（夹角为90度）情况下无人机的投放距离。

问题2：无人机不仅能定点投放物资，而且还可以通过安装在无人机前端的发射筒发射爆炸物疏通河道。其大致过程是：无人机首先水平飞行接近障碍物所处区域，然后俯冲找准时机发射爆炸物，发射结束后无人机随即拉升飞走。现有一处河流被冰块堆积阻断，需要用无人机发射爆炸物（爆炸物为球形，半径8cm，重量5kg）对目标进行爆破。假设无人机的初始点到目标的水平距离为10000m。受环境影响，无人机必须俯冲发射，并且发射方向与无人机的飞行方向一致。

（1）建立数学模型，给出无人机发射距离（发射点与目标的直线距离）与无人机的飞行高度、飞行速度、俯冲角度及发射速度等因素之间的关系。

（2）假设风速为6m/s，无人机接近目标时的飞行高度为800m、飞行速度为300km/h，爆炸物的发射速度为600km/h（相对于无人机的速度）。要求发射爆炸物时无人机与目标的距离在1000 m-3000 m之间，且无人机的高度不低于300m，请给出无人机击中目标的发射策略。

问题3：无人机发射爆炸物命中目标的精度与无人机飞行的稳定性有很大关系。相同条件下，无人机发射爆炸物时越稳定，命中目标的精度越高。开始俯冲后，无人机操控员需要不断调整无人机的飞行姿态以修正风向、风速对无人机的影响。

（1）在飞行速度、发射速度一定的情况下，综合考虑各种因素，建立数学模型，量化无人机飞行的稳定性，给出稳定性与命中精度之间的关系，并利用数值仿真等方法对无人机的稳定性进行分析验证。

（2）假设风速为6m/s，无人机的飞行速度范围为300 km/h -400 km/h，爆炸物的发射速度为500km/h（相对于无人机的速度）。无人机在800m高度开始俯冲，初始俯冲角度为45°，发射爆炸物时的飞行高度不低于300m，请给出为尽量保持无人机稳定而采取的飞行姿态最优调整策略。

2 解题思路

建立数学模型时，我们可以使用物理学中的基本公式，考虑以下因素对无人机投放距离的影响：
无人机飞行高度：高度越高，无人机的悬停时间会变长，但也会受到较强的空气阻力影响，从而减慢飞行速度。
无人机飞行速度：速度越快，无人机在空气中所受到的阻力也越大，同时也会影响无人机的悬停时间和飞行距离。
空气阻力：无人机所受到的空气阻力随着飞行高度和飞行速度的增加而增加，从而影响无人机的悬停时间和飞行距离。
因此，我们可以将无人机投放距离表示为以下公式：
d = v * t
其中，d为无人机的投放距离，v为无人机的飞行速度，t为无人机的悬停时间。
根据物理学中的运动学公式，可以得到以下关系式：
t = 2 * v * sin(θ) / g + v * cos(θ) * [sqrt((2 * h) / g)]
其中，θ为无人机的仰角（与水平面的夹角），h为无人机的飞行高度，g为重力加速度。
结合上述公式，我们可以得到如下的数学模型：
d = v * [2 * v * sin(θ) / g + v * cos(θ) * [sqrt((2 * h) / g)]]
其中，d为无人机的投放距离，v为无人机的飞行速度，θ为无人机的仰角，h为无人机的飞行高度，g为重力加速度。

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A题超级详细原创思路已出，有部分答案，但大家别全抄，边建模边学习, A题难度不高但是需要的物理知识不少，主要难度在这里

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