HDU-7314 2023“钉耙编程”杭电多校赛（4）Guess

HDU-7314 2023“钉耙编程”杭电多校赛（4）Guess

题目大意

令

$$S(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})\ln (d)$$

你需要计算

$$e^{S(n)}\mathrm{mod}998244353$$

有$T$组数据。

$1\le T\le 2000,1\le n\le 10^{18}$

题解

因为$e^{\ln d}=d$，因此可得

$$\begin{array}{rl}{e}^{S(n)}& =\prod _{d|n}{d}^{\mu (\frac{n}{d})}\\ & =\prod _{d|n}(\frac{n}{d}{)}^{\mu (d)}\\ & =\frac{n^{\sum _{d|n}\mu (d)}}{\prod _{d|n}{d}^{\mu (d)}}\\ & =\frac{1}{\prod _{d|n}{d}^{\mu (d)}}\end{array}$$

当$d$中存在一个质因数的次数超过$1$时，$\mu (d)=0$，$d^{\mu (d)}=1$，对答案不产生影响，所以这部分不需要考虑。

将$n$分解质因数得$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$，记$T=p_1{p}_2\cdots p_m$。那么

$$\frac{1}{\prod _{d|n}{d}^{\mu (d)}}=\frac{1}{\prod _{d|T}{d}^{\mu (d)}}$$

我们考虑每一个$p$对答案的贡献。

$$\prod _{d|T}{d}^{\mu (d)}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^{j+1}}=(\prod _{i=1}^m{p}_i^{\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j}{)}^{-1}$$

那么

$$\frac{1}{\prod _{d|T}{d}^{\mu (d)}}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j}$$

考虑计算$\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j$。

• 当$m=0$时，$\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j=0$
• 当$m=1$时，$\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j=1\times (-1{)}^0=1$
• 当$m>1$时，$\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j(-1{)}^j=\sum _{j=0}^{m-1}{C}_{m-1}^j\times 1^{m-1-j}\times (-1{)}^j=(1-1{)}^{m-1}=0$

所以，当$T$为质数时，答案为$T$；否则，答案为$1$。

也就是说，我们只需要知道$n$是否为质数的若干次幂即可。可以用$\text{Pollard rho}$，不过我用的是$\text{miller rabbin}$。

因为$\sqrt[3]{n}\le 10^6$，所以可以先将$10^6$以内的质数求出来，然后用$\text{map}$来标记质数的三次方及以上的幂的位置，这样就可以$O(\log n)$判断$n$是否是质数的三次方及以上的幂。然后，如果$(\lfloor \sqrt{n}\rfloor {)}^2=n$，则$n$是平方数，再用$\text{miller rabbin}$判断$\lfloor \sqrt{n}\rfloor$是否为质数，如果为质数，则$n$为质数的平方。如果都不满足，则用$\text{miller rabbin}$判断$n$是不是质数。输出对应的质数即可。

总时间复杂度为$O(\sqrt[3]{v}+T{\log }^{2}n)$。

code

#include
using namespace std;
const long long mod=998244353;
int T,z[1000005];
long long p[1000005];
long long v[12]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
map<long long,long long>mp;
void init(){
	for(int i=2;i<=1000000;i++){
		if(!z[i]) p[++p[0]]=i;
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=1000000;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
long long mi(long long t,long long v,long long p){
	long long re=1;
	while(v){
		if(v&1) re=(__int128)re*t%p;
		v>>=1;
		t=(__int128)t*t%p;
	}
	return re;
}
bool check(long long a,long long x){
	if(x==a) return 1;
	if(x%a==0) return 0;
	if(mi(a,x-1,x)!=1) return 0;
	long long y=x-1,vt;
	while(!(y&1)){
		y>>=1;
		vt=mi(a,y,x);
		if(vt==x-1) return 1;
		if(vt!=1) return 0;
	}
	return 1;
}
bool miller_rabbin(long long x){
	for(int i=0;i<12;i++){
		if(!check(v[i],x)) return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	long long n,w;
	scanf("%d",&T);
	init();
	mp[1]=1;
	for(int i=1;i<=p[0];i++){
		long long now=p[i];
		while(now<=1e18){
			mp[now]=p[i];
			if(1e18/p[i]<now) break;
			now*=p[i];
		}
	}
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);
		if(mp[n]) printf("%lld ",mp[n]);
		else{
			w=sqrt(n);
			if(w*w==n&&miller_rabbin(w)) printf("%lld ",w%mod);
			else if(miller_rabbin(n)) printf("%lld ",n%mod);
			else printf("1 ");
		}
	}
	return 0;
}