高中奥数 2022-01-30

2022-01-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 平均值不等式的几个证明 P065 例01）

设函数满足:

(1);

(2)对任意,有;

(3)当时,有.

证明:对任意正整数,都有.

证明由条件(1)、(2)可知,现设,,则.

于是,对任意,都有.

现在来讨论的值.设,则由(2)及数学归纳法,可知对任意,都有.

设,则由(3)知,于是,由前面的结论知,对比,可知

上式对任意都成立.

若,我们取,就有

与矛盾.同样地,若,取,就有,即,也与矛盾.所以,只能是.

综上可知,对任意都有.

说明如果函数是到的映射,那么问题要简单得多,请读者给出证明.

类似地,用此方法还可证明著名的Jenson不等式.

2022-01-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 平均值不等式的几个证明 P066 例02）

求所有的函数,使得对任意、,都有

解

设是一个满足条件的函数,在中令,就有,即,由于导致,故只能是.

下面我们先证明:对任意素数,都有

事实上,对任意素数,在中令,,则,即,从而或,若为前者,则已成立;若为后者,即,此时,在中令,,就有,即,但是,矛盾.所以,成立.

再证明:对任意,都有.

事实上,对任意正整数,取,使得为素数(这样的有无穷多个),在中令,结合就有

注意到,这里是某个整数.这样,由知

上式表明,数可以被无穷多个正整数整除(因为有无穷多数纳种取法),所以,即.

综上可知,只有一个函数满足条件,即.

说明此题本质上只需证出对无穷多个,有,然后将其余的漏洞补上,选择作为突破口是希望让被除数的因数个数尽量少,这个技巧在整除理论中经常用到.