高中奥数 2022-01-19

2022-01-19-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题17）

数列满足

证明:对任意整数,都有.

证明

由条件可知,结合数学归纳法及,可得对任意,都有,于是,取倒数就有

即,裂项求和项求和得

回到递推关系式,知.

故.

另一方面,.故

更有,进而,.

命题获证.

2022-01-19-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题18）

两个实数数列 和 ,满足,

证明:当时,都有.

证明

记,,这里 ,.则

依此结合数学归纳法易证:.类似地,可证:.

从而当时,有

由于,即,故.

命题获证.

2022-01-19-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题19）

数列定义如下, ,;而数列满足,,.

证明:对任意,都有.

证明

由条件,可知,于是,故.

另一方面,,,于是,进而,故.

注意到.

所以,命题成立.

2022-01-19-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题20）

数列满足,,.证明:对任意,,都有.

证明

记,则由,可知函数是区间上的减函数.

下面我们对n运用数学归纳法,先证明:,.

注意到,可知,,于是时,上述不等式成立.

进一步,设,,由单调性可知,即,并且.

故对一切,,均.

下面再证当时,.

事实上,由于当时,,故当时,有.进而,当时,有

(最后一个不等式等价于),而是显然的.

于是,当时,均有,从而,此时有.