高中奥数 2022-02-16

2022-02-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题13）

Fibonaccia数列满足,.

证明:对任意正整数,存在下标,使得.

证明

当时显然成立,对于的情形.

先证:是一个纯周期数列.

这只需注意到,在意义只有种不同情形,用抽屉原则可知,存在,使,然后结合递推公式可导出.依次倒推即可得出.

然后,由知存在,使得,从而,,,进而对,有.取,就有.命题获证.

2022-02-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题14）

我们称一个由正整数组成的无穷数列为数列,如果从第3项起,该数列的每一项都等于它前面两项之和.问:能否将正整数集分划为

(1)有限个;

(2)无穷多个

数列的并?

解

(1)不能.事实上,若可以分划为个数列的并,我们考虑正整数:.这个数中,必有3个数来自同一个数列但是,这个数中任取3个,其中任意两个数之和都大于第3个数,这是一个矛盾.

(2)我们利用正整数的Fibonacci表示(见第9节例2)来证明:可以分划为无穷多个数列的并.

我们将在Fibonacci表示下,使得的所有正整数从小到大排在第一行;使a,而的所有正整数从小到大排在第2行;使,而的所有正整数从小到大排在第3行; ,列表如下

表1

由Zeckendorf定理可知,每一个正整数均在上表中恰好出现一次,而该表格的每一列从上到下形成一个数列.所以,(2)的结论是肯定的.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题15）

设整数,满足

且对任意,都有.

证明:对任意,都有.

证明

当时,显然成立.

设对,有.下证.

若,则当然有;若,即,则.

注意到,利用,结合,可知.于是

故命题对也成立.